Question

有多少个整数 $n \ge 2$ 具有如下性质：只要复数 $z_1$ 、 $z_2$ 、 $\ldots$ 、 $z_n$ 满足 $|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = 1$ 以及 $z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0\text{，}$ 那么 $z_1$ 、 $z_2$ 、 $\ldots$ 、 $z_n$ 在复平面的单位圆上等间隔分布？

How many integers $n \ge 2$ are there such that whenever $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ are complex numbers such that $|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = 1$ and $z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0,$ then the numbers $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ are equally spaced on the unit circle in the complex plane?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：单位根复数反例

难度评级：2100

小提示：

检查小情形： $n = 2$ 强制两点互为对径， $n = 3$ 强制形成等边三角形。

Check small cases: $n = 2$ forces antipodal points and $n = 3$ forces an equilateral triangle

大提示：

对 $n \ge 4$ 可用一个较小的和为零构型加上一对对径点构造反例。

For $n \ge 4,$ build a counterexample by combining a smaller balanced configuration with an antipodal pair

解答：

当 $n = 2$ 时， $z_1 + z_2 = 0$ 强制 $z_2 = -z_1$ ，所以两点等间隔分布。当 $n = 3$ 时，三个和为零的单位向量必须构成等边三角形，所以也等间隔分布。

对每个偶数 $n\ge4$ ，取 $\frac{n}{2}$ 对处于一般位置、且不构成正 $n$ 边形的对径点。对每个奇数 $n\ge5$ ，取一个等边三角形的三个顶点，再加上 $\frac{n-3}{2}$ 对处于一般位置的对径点。每种构造的各数之和都是 $0$ ，但它们并不等间隔分布。

因此只有 $n = 2$ 和 $n = 3$ 满足条件，共 $2$ 个值。

所以正确答案是 B。

For $n = 2,$ $z_1 + z_2 = 0$ forces $z_2 = -z_1,$ which is equally spaced. For $n = 3,$ three unit vectors summing to zero must form an equilateral triangle, so they are equally spaced.

For every even $n\ge4,$ choose $\frac{n}{2}$ antipodal pairs at generic angles that do not form a regular $n$ -gon. For every odd $n\ge5,$ choose the vertices of an equilateral triangle together with $\frac{n-3}{2}$ generic antipodal pairs. Each construction has sum $0$ but is not equally spaced.

Hence only $n = 2$ and $n = 3$ work, giving $2$ values.

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 12B 第 23 题

答案：B

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题