Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=1$ ， $AC=2$ 。边 $BC$ 与从 $A$ 到 $BC$ 的中线长度相同。求 $BC$ 。

In $\triangle ABC,$ we have $AB=1$ and $AC=2.$ Side $BC$ and the median from $A$ to $BC$ have the same length. What is $BC?$

$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{3}$

答案：C

知识点：中线（几何）余弦定理

难度评级：1820

小提示：

设 $M$ 是 $BC$ 的中点， $AM=2a$ ，且 $\theta=\angle AMB$ 。

Let $M$ be the midpoint of $BC,$ $AM=2a,$ and $\theta=\angle AMB$

大提示：

分别在 $\triangle ABM$ 与 $\triangle AMC$ 中使用余弦定理（角为 $\theta$ 与 $180^\circ-\theta$ ），再相加。

Apply the Law of Cosines to $\triangle ABM$ and $\triangle AMC$ (angles $\theta$ and $180^\circ-\theta$ ) and add

解答：

设 $M$ 为 $BC$ 的中点，令 $AM=2a$ ，并设 $\theta=\angle AMB$ ，于是 $\angle AMC=180^\circ-\theta$ 。因 $BM=CM=a$ ，故 $BC=2a$ 。在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle AMC$ 中用余弦定理，得到 $a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1\text{，}$ $a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4\text{。}$

两式相加得 $10a^2=5$ ，所以 $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ ，从而 $BC=2a=\sqrt2$ 。

所以正确答案是 C。

Let $M$ be the midpoint of $BC,$ set $AM=2a,$ and let $\theta=\angle AMB,$ so $\angle AMC=180^\circ-\theta.$ With $BM=CM=a,$ so that $BC=2a,$ the Law of Cosines in $\triangle ABM$ and $\triangle AMC$ gives $a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1,$ $a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.$

Adding, $10a^2=5,$ so $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ and $BC=2a=\sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12B 第 23 题

答案：C

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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