Question

数 $10!$ （这里的 $10$ 用 $10$ 进制表示）写成 $12$ 进制时，末尾恰有 $k$ 个零。 $k$ 的值为：

The number $10!$ ( $10$ is written in base $10$ ), when written in the base $12$ system, ends in exactly $k$ zeros. The value of $k$ is:

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：D

知识点：进制末尾零质因数分解阶乘

难度评级：1830

小提示：

一个 $12$ 进制末尾零对应一个因子 $12=2^2\cdot3$

A trailing base- $12$ zero contributes one factor of $12=2^2\cdot3$

大提示：

比较 $10!$ 中质因数 $2$ 和 $3$ 的指数

Compare the exponents of $2$ and $3$ in $10!$

解答：

$10!$ 中各质因数的指数为 $\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4 \end{gathered}\text{。}$ 每个因子 $12=2^2\cdot3$ 需要两个因数 $2$ 和一个因数 $3$ 。因此 $12$ 进制表示的末尾零个数为 $\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The prime exponents in $10!$ are $\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}$ Each factor of $12=2^2\cdot3$ uses two factors of $2$ and one of $3.$ Hence the number of trailing base- $12$ zeros is $\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.$

Therefore, the correct answer is D.

1970 AMC 12 第 23 题

答案：D

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题