Question

有多少个互不全等、直角边长为正整数的直角三角形，其面积的数值等于其周长的 $3$ 倍？

How many non-congruent right triangles with positive integer leg lengths have areas that are numerically equal to $3$ times their perimeters?

$6$

$7$

$8$

$10$

$12$

答案：A

知识点：直角三角形丢番图方程西蒙最爱的因式分解技巧

难度评级：2140

小提示：

设直角边 $a\le b$ ，写出 $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)$ ，并把根式单独移到一边。

With legs $a\le b,$ write $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)$ and isolate the radical

大提示：

平方并化简可得 $(a-12)(b-12)=72$ ；数因数对并排除伪解。

Squaring and simplifying yields $(a-12)(b-12)=72;$ check the factor-pair candidates in the original equation to remove extraneous ones

解答：

设直角边为 $a\le b$ 。条件为 $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)$ ，所以 $ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}\text{。}$

平方并化简得到 $ab(ab-12a-12b+72)=0$ ，所以 $(a-12)(b-12)=72$ 。正整数解为 $(a,b)=(3,4)$ ， $(13,84)$ ， $(14,48)$ ， $(15,36)$ ， $(16,30)$ ， $(18,24)$ ， $(20,21)$ 。

其中 $(3,4)$ 是伪解：它的面积为 $6$ ，而它的周长为 $12$ ，周长的三倍是 $36$ 。所以恰有 $6$ 个三角形。

所以正确答案是 A。

Let the legs be $a\le b.$ The condition is $\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right),$ so $ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.$

Squaring and simplifying gives $ab(ab-12a-12b+72)=0,$ hence $(a-12)(b-12)=72.$ The positive integer solutions are $(a,b)=(3,4),$ $(13,84),$ $(14,48),$ $(15,36),$ $(16,30),$ $(18,24),$ $(20,21).$

The pair $(3,4)$ is extraneous: its area is $6,$ while its perimeter is $12$ and three times that is $36.$ So exactly $6$ triangles work.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B 第 23 题

答案：A

难度评级：2140

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题