Question

三维空间中，由不等式 $|x|+|y|+|z|\le1$ 和 $|x|+|y|+|z-1|\le1$ 所定义的区域体积是多少？

What is the volume of the region in three-dimensional space defined by the inequalities $|x|+|y|+|z|\le1$ and $|x|+|y|+|z-1|\le1?$

$\dfrac16$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$1$

答案：A

知识点：立体几何体积长度、面积与体积的缩放关系

难度评级：2270

小提示：

集合 $|x|+|y|+|z|\le1$ 是一个正八面体，对角线长为 $2$ ，体积为 $\tfrac43$ 。

The set $|x|+|y|+|z|\le1$ is a regular octahedron with diagonals of length $2$ and volume $\tfrac43$

大提示：

第二个不等式是该八面体向上平移 $1$ ；两者交集是线性尺寸为一半的相似八面体。

The second inequality is that octahedron translated up by $1;$ their overlap is a similar octahedron with half the linear size

解答：

区域 $|x|+|y|+|z|\le1$ 是一个正八面体，顶点为 $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)$ ，体积为 $2\cdot\tfrac13\cdot(\sqrt2)^2\cdot1=\tfrac43$ 。第二个区域是同一个八面体向上平移 $1$ 后得到的。两者的交集是另一个对角线长为 $1$ 的正八面体，其线性尺寸是原八面体的一半，所以体积为 $\left(\tfrac12\right)^3\cdot\tfrac43=\tfrac16$ 。

所以正确答案是 A。

The region $|x|+|y|+|z|\le1$ is a regular octahedron with vertices at $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1),$ whose volume is $2\cdot\tfrac13\cdot(\sqrt2)^2\cdot1=\tfrac43.$ The second region is the same octahedron shifted up by $1.$ Their intersection is bounded by another regular octahedron with diagonals of length $1,$ half the linear dimensions of the first, so its volume is $\left(\tfrac12\right)^3\cdot\tfrac43=\tfrac16.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12B 第 23 题

答案：A

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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