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2016 AMC 12B 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

对某个小于 10001000 的正整数 nn，1n\dfrac1n 的十进制表示为 0.abcdef‾0.\overline{abcdef}，循环节长度为 66；而 1n+6\dfrac{1}{n+6} 的十进制表示为 0.wxyz‾0.\overline{wxyz}，循环节长度为 44。nn 位于哪个区间？

For a certain positive integer nn less than 1000,1000, the decimal equivalent of 1n\dfrac1n is 0.abcdef‾,0.\overline{abcdef}, a repeating decimal of period 6,6, and the decimal equivalent of 1n+6\dfrac{1}{n+6} is 0.wxyz‾,0.\overline{wxyz}, a repeating decimal of period 4.4. In which interval does nn lie?

[1,200][1,200]

[201,400][201,400]

[401,600][401,600]

[601,800][601,800]

[801,999][801,999]

答案：B
知识点：循环小数乘法阶整除性
难度评级：2270
小提示：

周期 66 表示 106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅3710^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 是 nn 的倍数；周期 44 表示 104−1=32⋅11⋅10110^4-1=3^2\cdot11\cdot101 是 n+6n+6 的倍数。

Period 66 means 106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅3710^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 is divisible by n;n; period 44 means 104−1=32⋅11⋅10110^4-1=3^2\cdot11\cdot101 is divisible by n+6n+6

大提示：

n+6n+6 必须整除 104−110^4-1 但不整除 102−110^2-1，迫使 n+6=101kn+6=101k；检验每个 n=101k−6<1000n=101k-6\lt1000，看 106−110^6-1 是否是 nn 的倍数。

n+6n+6 must divide 104−110^4-1 but not 102−1,10^2-1, forcing n+6=101k;n+6=101k; test each n=101k−6<1000n=101k-6\lt1000 to see whether 106−110^6-1 is divisible by nn

解答：

周期为 66 要求 106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅3710^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 是 nn 的倍数。周期为 44 要求 104−1=32⋅11⋅10110^4-1=3^2\cdot11\cdot101 是 n+6n+6 的倍数，而 102−1=32⋅1110^2-1=3^2\cdot11 不是 n+6n+6 的倍数（否则周期会是 11 或 22）。因此 n+6n+6 是 101101 的倍数。又因为 n+6n+6 整除 32⋅11⋅1013^2\cdot11\cdot101 且小于 10061006，所以只有 n+6=101,303,909n+6=101,303,909 三种可能，对应 n=95,297,903n=95,297,903。其中只有 297=33⋅11297=3^3\cdot11 整除 106−110^6-1，所以 n=297n=297。

最后，106≡1(mod297)10^6\equiv1\pmod{297}，而 102≢110^2\not\equiv1 且 103≢1(mod297)10^3\not\equiv1\pmod{297}，所以它的周期恰为 66。此外，303303 整除 104−110^4-1 但不整除 102−110^2-1，所以 1303\frac{1}{303} 的周期恰为 44。因此 n=297n=297 位于 [201,400][201,400] 中。

因此，正确答案是 B。

Period 66 requires 106−1=33⋅7⋅11⋅13⋅3710^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 to be divisible by n.n. Period 44 requires 104−1=32⋅11⋅10110^4-1=3^2\cdot11\cdot101 to be divisible by n+6,n+6, while 102−1=32⋅1110^2-1=3^2\cdot11 is not divisible by n+6n+6 (else the period would be 11 or 22). Hence n+6n+6 is a multiple of 101.101. Since n+6n+6 also divides 32⋅11⋅1013^2\cdot11\cdot101 and is less than 1006,1006, the only possibilities are n+6=101,303,909,n+6=101,303,909, giving n=95,297,903.n=95,297,903. Only 297=33⋅11297=3^3\cdot11 divides 106−1,10^6-1, so n=297.n=297.

Finally, 106≡1(mod297),10^6\equiv1\pmod{297}, while 102≢110^2\not\equiv1 and 103≢1(mod297),10^3\not\equiv1\pmod{297}, so its period is exactly 6.6. Also 303303 divides 104−110^4-1 but not 102−1,10^2-1, so the period of 1303\frac{1}{303} is exactly 4.4. Thus n=297n=297 lies in [201,400].[201,400].

Thus, the correct answer is B.

第 21 题#21
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第 23 题#23

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