Question

对所有大于 $1$ 的整数 $n$ ，定义 $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}\text{。}$ 设 $b=a_2+a_3+a_4+a_5$ ，且 $c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}$ ，则 $b-c$ 等于

For all integers $n$ greater than $1,$ define $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}.$ Let $b=a_2+a_3+a_4+a_5$ and $c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}.$ Then $b-c$ equals

$-2$

$-1$

$\dfrac{1}{2002}$

$\dfrac{1}{1001}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：B

知识点：对数

难度评级：1630

小提示：

$\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n$ 。

$\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n$

大提示：

因此 $b-c$ $=\log_{2002}\dfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}$ ；化简这个分数。

Then $b-c$ $=\log_{2002}\dfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}$ ; simplify the fraction

解答：

由换底公式， $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n$ 。 $\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14} \end{gathered}\text{。}$

该分数等于 $\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002}$ ，因此 $b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1$ 。

所以正确答案是 B。

By change of base, $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.$ So $\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}$

The fraction equals $\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002},$ so $b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12B 第 22 题

答案：B

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题