Question

对所有小于 $2002$ 的正整数 $n$ ，定义 $a_n=\begin{cases} 11, & \text{若 } n \text{ 是 } 13 \text{ 和 } 14 \text{ 的倍数};\\ 13, & \text{若 } n \text{ 是 } 14 \text{ 和 } 11 \text{ 的倍数};\\ 14, & \text{若 } n \text{ 是 } 11 \text{ 和 } 13 \text{ 的倍数};\\ 0, & \text{否则} \end{cases}\text{。}$ 计算 $\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n$ 。

For all positive integers $n$ less than $2002,$ let $a_n=\begin{cases} 11, & \text{if } n \text{ is divisible by } 13 \text{ and } 14;\\ 13, & \text{if } n \text{ is divisible by } 14 \text{ and } 11;\\ 14, & \text{if } n \text{ is divisible by } 11 \text{ and } 13;\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$ Calculate $\displaystyle\sum_{n=1}^{2001} a_n.$

$448$

$486$

$1560$

$2001$

$2002$

答案：A

知识点：整除性最小公倍数倍数

难度评级：1650

小提示：

因为 $11$ 、 $13$ 、 $14$ 两两互质，“能被其中两个整除”就等价于能被它们的乘积整除。

Because $11,$ $13,$ $14$ are pairwise coprime, “divisible by two of them” means divisible by their product

大提示：

数出小于 $2002$ 的 $182$ ， $154$ ， $143$ 的倍数；没有小于 $2002$ 的数能同时被三者整除。

Count multiples of $182,$ $154,$ $143$ below $2002$ ; no number under $2002$ is divisible by all three

解答：

因为 $2002=11\cdot13\cdot14$ ，且 $11$ 、 $13$ 、 $14$ 两两互质，所以 $a_n=11$ 当 $n$ 是 $182$ 的倍数， $a_n=13$ 当 $n$ 是 $154$ 的倍数， $a_n=14$ 当 $n$ 是 $143$ 的倍数。（没有 $n\lt2002$ 能被三者同时整除。）

当 $n\le2001$ 时， $182$ 的倍数有 $10$ 个， $154$ 的倍数有 $12$ 个， $143$ 的倍数有 $13$ 个。所以和为 $\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 A。

Since $2002=11\cdot13\cdot14$ with $11,$ $13,$ $14$ pairwise coprime, $a_n=11$ when $n$ is divisible by $182,$ $a_n=13$ when $n$ is divisible by $154,$ and $a_n=14$ when $n$ is divisible by $143$ (and no $n\lt2002$ is divisible by all three).

For $n\le2001$ there are $10$ multiples of $182,$ $12$ of $154,$ and $13$ of $143.$ So the sum is $\begin{gathered} 11\cdot10+13\cdot12+14\cdot13 \\ {}=110+156+182 \\ {}=448. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 12B 第 21 题

答案：A

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题