Question

若图中角 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，和 $F$ 的度数之和为 $90n$ ，则 $n$ 等于：

If the sum of the measures in degrees of angles $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ in the figure is $90n,$ then $n$ is equal to:

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：C

知识点：角度和导角

难度评级：1910

小提示：

分别命名 $AD$ 与 $BF$ 、 $CE$ 的两个交点

Name the two intersections of $AD$ with $BF$ and $CE$

大提示：

合并中央四边形与其两侧三角形的内角和

Combine the angle sums of the central quadrilateral and the two triangles attached to it

解答：

令 $P=AD\cap BF$ ，且 $Q=AD\cap CE$ 。在四边形 $EFPQ$ 中， $E+F+\angle P+\angle Q=360^\circ\text{。}$ 利用 $P$ 和 $Q$ 处的补角，三角形 $BPD$ 与 $AQC$ 分别给出 $B+D=\angle P$ 和 $A+C=\angle Q$ ，相加得 $\begin{gathered} A+B+C+D+E+F\\ =360^\circ=90^\circ\cdot4 \end{gathered}\text{。}$ 因此 $n=4$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $P=AD\cap BF$ and $Q=AD\cap CE.$ In quadrilateral $EFPQ,$ $E+F+\angle P+\angle Q=360^\circ.$ The triangles $BPD$ and $AQC$ give $B+D=\angle P$ and $A+C=\angle Q,$ using the supplementary angles at $P$ and $Q.$ Adding yields $\begin{gathered} A+B+C+D+E+F\\ =360^\circ=90^\circ\cdot4. \end{gathered}$ Thus $n=4.$

Therefore, the correct answer is C.

1972 AMC 12 第 21 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题