Question

和为 $100$ 的、由两个或更多连续正整数组成的集合个数为

The number of sets of two or more consecutive positive integers whose sum is $100$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：等差数列因数奇偶性系统列举

难度评级：1970

小提示：

若从 $a$ 开始共有 $k$ 项，将总和乘以二，得到 $200=k(2a+k-1)$

If there are $k$ terms beginning with $a,$ double the sum to obtain $200=k(2a+k-1)$

大提示：

检验满足 $k\lt\sqrt{200}$ 的约数，并要求 $a$ 为正整数

Check divisors $k\lt\sqrt{200}$ and enforce that $a$ is a positive integer

解答：

对从 $a$ 开始的 $k\ge2$ 个连续正整数， $200=k(2a+k-1)\text{。}$ 由正性可得 $k\lt\sqrt{200}$ ，所以 $200$ 的可能约数 $k$ 为 $2,4,5,8,10\text{。}$ 由 $2a=\frac{200}{k}-k+1\text{，}$ 只有 $k=5$ 与 $k=8$ 使右边为正偶数。它们分别给出集合 $18,19,20,21,22$ 和 $9,10,\ldots,16$ 。因此共有 $2$ 个集合。

所以正确答案是 B。

For $k\ge2$ consecutive positive integers starting at $a,$ $200=k(2a+k-1).$ Positivity gives $k\lt\sqrt{200},$ so the possible divisors $k$ of $200$ are $2,4,5,8,10.$ From $2a=\frac{200}{k}-k+1,$ only $k=5$ and $k=8$ give positive even right-hand sides. They yield the sets $18,19,20,21,22$ and $9,10,\ldots,16.$ Hence there are $2$ sets.

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题