Question

在附图中， $\overline{CE}$ 和 $\overline{DE}$ 是圆心为 $O$ 的圆的两条等弦。弧 $AB$ 是四分之一圆周。则三角形 $CED$ 与三角形 $AOB$ 的面积之比为：

In the accompanying figure $\overline{CE}$ and $\overline{DE}$ are equal chords of a circle with center $O.$ Arc $AB$ is a quarter-circle. Then the ratio of the area of triangle $CED$ to the area of triangle $AOB$ is:

$\sqrt2:1$

$\sqrt3:1$

$4:1$

$3:1$

$2:1$

答案：E

知识点：弦圆三角形面积面积比

难度评级：1590

小提示：

从 $E$ 出发的两条等弦使图中的三角形关于垂直直径对称

The equal chords from $E$ make the pictured triangle symmetric about the perpendicular diameter

大提示：

用圆的半径表示并比较两个三角形的底乘高面积

Compare each triangle’s base-height area in terms of the circle radius

解答：

设圆的半径为 $r$ 。在图示位置中， $\overline{CD}$ 是直径， $E$ 是与它垂直的半径的端点，因此 $[CED]=\frac12(2r)(r)=r^2\text{。}$ 由于弧 $AB$ 是四分之一圆周， $\angle AOB=90^\circ$ ，且 $[AOB]=\frac12r^2\text{。}$ 所求比为 $2:1$ 。

所以正确答案为 E。

Let the circle have radius $r.$ In the pictured configuration, $\overline{CD}$ is a diameter and $E$ is the endpoint of the perpendicular radius, so $[CED]=\frac12(2r)(r)=r^2.$ Since arc $AB$ is a quarter-circle, $\angle AOB=90^\circ,$ and $[AOB]=\frac12r^2.$ The requested ratio is therefore $2:1.$

Thus, the correct answer is E.

1958 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题