Question

考虑 $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))) \end{gathered}\text{。}$

以下哪个区间包含 $A$ ？

Consider $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}$

Which of the following intervals contains $A?$

$(\log 2016, \log 2017)$

$(\log 2017, \log 2018)$

$(\log 2018, \log 2019)$

$(\log 2019, \log 2020)$

$(\log 2020, \log 2021)$

答案：A

知识点：对数极限情形界定数学归纳法

难度评级：2210

小提示：

跟踪嵌套值所在范围：较小 $n$ 时有 $0 \lt A_n \lt 1$ ，之后有 $1 \lt A_n \lt 2$ ，等等

Track where the nested value sits: $0 \lt A_n \lt 1$ for small $n,$ then $1 \lt A_n \lt 2,$ etc.

大提示：

当 $n = 2012$ 时，该值满足 $3 \lt A_{2012} \lt 4$ ，再估计 $2013 + A_{2012}$ 。

For $n = 2012$ the value satisfies $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so estimate $2013 + A_{2012}$

解答：

设 $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots))$ 。可以检查 $2 \le n \le 9$ 时 $0 \lt A_n \lt 1$ ， $10 \le n \le 98$ 时 $1 \lt A_n \lt 2$ ， $99 \le n \le 997$ 时 $2 \lt A_n \lt 3$ ，且 $998 \le n \le 9996$ 时 $3 \lt A_n \lt 4$ 。

因此 $3 \lt A_{2012} \lt 4$ ，所以 $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ ，从而 $\log 2016 \lt A \lt \log 2017$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).$ One checks $0 \lt A_n \lt 1$ for $2 \le n \le 9,$ then $1 \lt A_n \lt 2$ for $10 \le n \le 98,$ then $2 \lt A_n \lt 3$ for $99 \le n \le 997,$ and $3 \lt A_n \lt 4$ for $998 \le n \le 9996.$

Hence $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ and therefore $\log 2016 \lt A \lt \log 2017.$

Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题