Question

四个正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，和 $d$ 的乘积为 $8!$ 并满足

$ab + a + b = 524\text{，}$ $bc + b + c = 146\text{，}$ $cd + c + d = 104\text{。}$

$a - d$ 是多少？

Four positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ have a product of $8!$ and satisfy

$ab + a + b = 524,$ $bc + b + c = 146,$ $cd + c + d = 104.$

What is $a - d?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

答案：D

知识点：西蒙最爱的因式分解技巧整除性方程组

难度评级：1960

小提示：

给每个方程两边都加 $1$ 使左边可分解： $(a + 1)(b + 1) = 525$ ，依此类推

Add $1$ to each equation so the left side factors: $(a + 1)(b + 1) = 525,$ and so on

大提示：

$525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$ 含有因数 $25$ 但 $(b+1)(c+1) = 147$ 不含，因此 $a + 1$ 是 $25$ 的倍数

$525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$ has a factor of $25$ but $(b+1)(c+1) = 147$ does not, so $a + 1$ is a multiple of $25$

解答：

给每个方程两边加 $1$ ，左边就可以分解： $\begin{aligned} (a + 1)(b + 1) &= 525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7, \\ (b + 1)(c + 1) &= 147 = 3 \cdot 7^2, \\ (c + 1)(d + 1) &= 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{aligned}\text{。}$

因为 $525$ 含有因数 $25$ 而 $147$ 不能被 $5$ 整除，所以因数 $a + 1$ 必须包含这个 $25$ 。在 $525$ 的因数中，只有 $a + 1 = 25$ 会使 $a = 24$ 整除 $8! = 40320$ 。

接着 $b + 1 = 21$ ， $c + 1 = 7$ ，且 $d + 1 = 15$ ，所以 $b = 20$ ， $c = 6$ ， $d = 14$ 。（确实 $24 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 14 = 40320 = 8!$ 。）

所以 $a - d = 24 - 14 = 10$ 。

因此，正确答案是 D。

Adding $1$ to each equation factors the left sides: $\begin{aligned} (a + 1)(b + 1) &= 525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7, \\ (b + 1)(c + 1) &= 147 = 3 \cdot 7^2, \\ (c + 1)(d + 1) &= 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7. \end{aligned}$

Since $525$ has a factor of $25$ while $147$ is not divisible by $5,$ the factor $a + 1$ must carry the $25.$ Among divisors of $525,$ only $a + 1 = 25$ makes $a = 24$ divide $8! = 40320.$

Then $b + 1 = 21,$ $c + 1 = 7,$ and $d + 1 = 15,$ giving $b = 20,$ $c = 6,$ $d = 14.$ (Indeed $24 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 14 = 40320 = 8!.$ )

So $a - d = 24 - 14 = 10.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 第 21 题

答案：D

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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