Question

按以下方法作一个“ $n$ 角星”：将一个凸多边形的各边依次编号为 $1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $k$ 、 $\ldots$ 、 $n$ ，其中 $n\geq5$ ；对于 $k$ 的全部 $n$ 个取值，边 $k$ 与边 $k+2$ 均不平行，并约定边 $n+1$ 和边 $n+2$ 分别与边 $1$ 和边 $2$ 相同；将编号为 $k$ 和 $k+2$ 的 $n$ 对边延长至相交。（图示为 $n=5$ 的情形。）

设 $S$ 为该星形 $n$ 个尖角的内角度数之和，则 $S$ 等于：

An “ $n$ -pointed star” is formed as follows: the sides of a convex polygon are numbered consecutively $1,$ $2,$ $\ldots,$ $k,$ $\ldots,$ $n,$ $n\geq5;$ for all $n$ values of $k,$ sides $k$ and $k+2$ are non-parallel, sides $n+1$ and $n+2$ being respectively identical with sides $1$ and $2;$ prolong the $n$ pairs of sides numbered $k$ and $k+2$ until they meet. (A figure is shown for the case $n=5.$ )

Let $S$ be the degree-sum of the interior angles at the $n$ points of the star; then $S$ equals:

$180$

$360$

$180(n+2)$

$180(n-2)$

$180(n-4)$

答案：E

知识点：导角角度和

难度评级：1880

小提示：

将每个星尖角与原多边形的两个相邻内角联系起来

Relate each star-tip angle to two adjacent interior angles of the original polygon

大提示：

原多边形的内角和为 $180(n-2)$ 度

The original polygon’s interior-angle sum is $180(n-2)$ degrees

解答：

设原多边形的内角为 $a_1,\ldots,a_n$ 。由边 $k$ 和边 $k+2$ 形成的星尖角为 $a_k+a_{k+1}-180^\circ\text{。}$ 循环求和时，每个 $a_k$ 被计算两次。因此 $\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4) \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let the original polygon’s interior angles be $a_1,\ldots,a_n.$ The star angle made from sides $k$ and $k+2$ equals $a_k+a_{k+1}-180^\circ.$ Summing cyclically counts each $a_k$ twice. Hence $\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1966 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题