Question

满足联立方程 $\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23 \end{aligned}$ 的正整数三元组 $(a,b,c)$ 的个数为

The number of triples $(a,b,c)$ of positive integers which satisfy the simultaneous equations $\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23. \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：丢番图方程因数换元法

难度评级：1960

小提示：

将第二个方程因式分解为 $c(a+b)=23$

Factor the second equation as $c(a+b)=23$

大提示：

利用 $23$ 是素数以及各变量为正数，确定 $c$ 和 $a+b$

Use the primality of $23$ and positivity to determine $c$ and $a+b$

解答：

由于 $c(a+b)=23$ ，且所有变量都是正整数，所以 $c=1$ ，且 $a+b=23$ 。将 $b=23-a$ 代入 $ab+b=44$ 。于是 $(23-a)(a+1)=44\text{，}$ 即 $a^2-22a+21=0$ ，所以 $a=1$ 或 $21$ 。每种情形都会得到正整数 $b$ ，因此恰有两个三元组。

所以正确答案是 C。

Since $c(a+b)=23$ and all variables are positive integers, $c=1$ and $a+b=23.$ Put $b=23-a$ in $ab+b=44.$ Then $(23-a)(a+1)=44,$ or $a^2-22a+21=0,$ so $a=1$ or $21.$ Each gives a positive $b,$ producing exactly two triples.

Therefore, the correct answer is C.

1984 AMC 12 第 21 题

答案：C

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题