Question

在直角三角形 $ABC$ 中，斜边 $AB=5$ ，直角边 $AC=3$ 。角 $A$ 的平分线与对边交于 $A_1$ 。再作一个直角三角形 $PQR$ ，其斜边 $PQ=A_1B$ ，直角边 $PR=A_1C$ 。若角 $P$ 的平分线与对边交于 $P_1$ ，则 $PP_1$ 的长度为：

In right triangle $ABC$ the hypotenuse $AB=5$ and leg $AC=3.$ The bisector of angle $A$ meets the opposite side in $A_1.$ A second right triangle $PQR$ is then constructed with hypotenuse $PQ=A_1B$ and leg $PR=A_1C.$ If the bisector of angle $P$ meets the opposite side in $P_1,$ the length of $PP_1$ is:

$\dfrac{3\sqrt6}{4}$

$\dfrac{3\sqrt5}{4}$

$\dfrac{3\sqrt3}{4}$

$\dfrac{3\sqrt2}{2}$

$\dfrac{15\sqrt2}{16}$

答案：B

知识点：直角三角形角平分线定理相似

难度评级：2150

小提示：

在 $3$ - $4$ - $5$ 三角形中使用角平分线定理

Use the angle-bisector theorem in the $3$ - $4$ - $5$ triangle

大提示：

第二个三角形是第一个三角形缩小一半的副本

The second triangle is a half-scale copy of the first

解答：

因为 $BC=4$ ，由角平分线定理可得 $A_1B:A_1C=5:3$ 。因此 $A_1B=\frac{5}{2}$ ，且 $A_1C=\frac{3}{2}$ ，所以三角形 $PQR$ 是三角形 $ABC$ 缩小一半的副本。

对于原三角形中从 $A$ 引出的角平分线， $\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}$ 。因此 $PP_1$ 是它的一半，即 $\frac{3\sqrt5}{4}$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $BC=4,$ the angle-bisector theorem gives $A_1B:A_1C=5:3.$ Hence $A_1B=\frac{5}{2}$ and $A_1C=\frac{3}{2},$ so triangle $PQR$ is a half-scale copy of $ABC.$

For the angle bisector from $A$ in the original triangle, $\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned}$ so $AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}.$ Therefore $PP_1$ is half of this, or $\frac{3\sqrt5}{4}.$

Thus, the correct answer is B.

1967 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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