Question

令 $f_1(x) = \sqrt{1 - x}$ ；对整数 $n \ge 2$ ，令 $f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right)$ 。若 $N$ 是使 $f_n$ 的定义域非空的最大 $n$ 值，且 $f_N$ 的定义域为 $\{c\}$ ，求 $N + c$ 。

Let $f_1(x) = \sqrt{1 - x},$ and for integers $n \ge 2,$ let $f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right).$ If $N$ is the largest value of $n$ for which the domain of $f_n$ is nonempty, the domain of $f_N$ is $\{c\}.$ What is $N + c?$

$-226$

$-144$

$-20$

$20$

$144$

答案：A

知识点：函数根式递推

难度评级：2270

小提示：

从内向外构造定义域： $f_n$ 要求 $\sqrt{n^2 - x}$ 落在 $f_{n-1}$ 的定义域中

Build the domains outward: $f_n$ needs $\sqrt{n^2 - x}$ to lie in the domain of $f_{n-1}$

大提示：

前三个定义域为 $(-\infty,1]$ 、 $[3,4]$ 和 $[-7,0]$ ；继续往下推，同时记住平方根非负

The first three domains are $(-\infty,1],$ $[3,4],$ and $[-7,0];$ continue while remembering that a square root is nonnegative

解答：

每一步都要求 $\sqrt{n^2 - x}$ 落在 $f_{n-1}$ 的定义域中。追踪定义域：

$f_1: (-\infty, 1]$ 。 $f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4]$ 。 $f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0]$ 。 $f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}$ （只有值 $0$ 可能）。 $f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}$ 。

对 $f_6$ ，我们需要 $\sqrt{36 - x} = -231$ ，这是不可能的，所以定义域为空。因此 $N = 5$ ， $c = -231$ ，且 $N + c = -226$ 。

因此，正确答案是 A。

Each step requires $\sqrt{n^2 - x}$ to lie in the domain of $f_{n-1}.$ Tracking the domains:

$f_1: (-\infty, 1].$ $f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4].$ $f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0].$ $f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}$ (only the value $0$ is possible). $f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.$

For $f_6$ we would need $\sqrt{36 - x} = -231,$ impossible, so the domain is empty. Hence $N = 5,$ $c = -231,$ and $N + c = -226.$

Thus, the correct answer is A.

2011 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题