Question

令 $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是复数。假设 $\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0\text{。} \end{gathered}$ 多项式 $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c$ 有多少个非实零点？

Let $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are complex numbers. Suppose that $\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}$ What is the number of nonreal zeros of $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

答案：C

知识点：多项式复数单位根

难度评级：2170

小提示：

注意 $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$ 。

Notice that $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$

大提示：

因此零点满足 $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ ， $x^4 = 2009$ ，或 $x^4 = 9002$ ；数一数非实四次方根。

So the zeros satisfy $x^4 = 2009 + 9002\pi i,$ $x^4 = 2009,$ or $x^4 = 9002;$ count the nonreal fourth roots

解答：

因为 $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$ ，一个值是零点当且仅当 $x^4$ 等于 $p$ 的某个根，即 $2009 + 9002\pi i$ ， $2009$ ，或 $9002$ 。

方程 $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ 有四个不同的非实根。 $x^4 = 2009$ 和 $x^4 = 9002$ 各有两个实根和两个非实根。

所以非实零点个数为 $4 + 2 + 2 = 8$ 。

因此，正确答案是 C。

Since $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),$ a value is a zero exactly when $x^4$ equals one of the roots of $p,$ namely $2009 + 9002\pi i,$ $2009,$ or $9002.$

The equation $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ has four distinct nonreal roots. Each of $x^4 = 2009$ and $x^4 = 9002$ has two real roots and two nonreal roots.

So the nonreal zeros number $4 + 2 + 2 = 8.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12A 第 21 题

答案：C

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

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