Question

设 $S$ 是所有满足下式的正实数 $x$ 的和： $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}\text{。}$

下列哪一项为真？

Let $S$ be the sum of all positive real numbers $x$ for which $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

Which of the following statements is true?

$S\lt\sqrt2$

$S=\sqrt2$

$\sqrt2\lt S\lt 2$

$2\le S\lt 6$

$S\ge 6$

答案：D

知识点：对数极限情形界定

难度评级：2260

小提示：

两边取 $\log_2$ 得到 $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$ 。

Take $\log_2$ of both sides to get $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$

大提示：

$x=\sqrt2$ 是一个解；分析 $2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ 的符号来定位另一个解

$x=\sqrt2$ is one solution; analyze the sign of $2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ to locate the other

解答：

两边取 $\log_2$ ，方程变为 $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$ 。代入 $x=\sqrt2$ 得 $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1}$ 成立，所以 $x=\sqrt2$ 是一个解。

令 $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ 。则 $f(1)\gt 0$ 、 $f(\sqrt2)=0$ 、 $f(2)\lt 0$ ，且 $f(4)\gt 0$ ，所以在 $2$ 与 $4$ 之间有第二个根 $x_0$ 。

为证明没有其他解，将方程除以 $2^x$ ，并在 $x\gt1$ 时考察 $h(x)=\frac{\ln x}{2^x}$ 。它的导数符号与 $\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x)$ 相同，而后者严格递减。因此， $h$ 先增后减一次，任意水平线与其图像至多相交两次。前面找到的两个根就是全部解。因为 $2\lt x_0\lt4$ ，所以 $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6$ 。

所以正确答案是 D。

Taking $\log_2,$ the equation becomes $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Substituting $x=\sqrt2$ gives $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ which holds, so $x=\sqrt2$ is a solution.

Let $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Then $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ and $f(4)\gt 0,$ so there is a second root $x_0$ between $2$ and $4.$

To prove there are no others, divide the equation by $2^x$ and consider $h(x)=\frac{\ln x}{2^x}$ for $x\gt1.$ Its derivative has the sign of $\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x),$ a strictly decreasing expression. Thus $h$ increases once and then decreases, so a horizontal line meets its graph at most twice. The two roots already found are all the solutions. Since $2\lt x_0\lt4,$ we have $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring 第 21 题

答案：D

难度评级：2260

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解答：

其他年份的第 21 题