Question

有多少个正整数 $n$ 满足： $n$ 是 $5$ 的倍数，并且 $5!$ 与 $n$ 的最小公倍数等于 $10!$ 与 $n$ 的最大公因数的 $5$ 倍？

How many positive integers $n$ are there such that $n$ is a multiple of $5,$ and the least common multiple of $5!$ and $n$ equals $5$ times the greatest common divisor of $10!$ and $n?$

$12$

$24$

$36$

$48$

$72$

答案：D

知识点：最小公倍数最大公约数质因数分解

难度评级：2080

小提示：

$5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ 且 $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ ；比较每个质数的指数

$5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ and $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7;$ compare exponents of each prime

大提示：

将最大公因数乘以 $5$ 会使 $5$ 的指数增加一；求出 $n$ 中每个质数指数的允许值

Multiplying the gcd by $5$ raises the power of $5$ by one; work out the allowed exponent of each prime in $n$

解答：

写 $n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots$ 。由于 $5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ 不含其他质数， $n$ 只能含有 $2, 3, 5, 7$ 。在等式 $\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n)$ 中逐个匹配质因数的指数。

对于 $2$ ： $\max(3, a) = \min(8, a)$ ，所以 $3 \le a \le 8$ 有 $6$ 个值。对于 $3$ ： $\max(1, b) = \min(4, b)$ ，所以 $1 \le b \le 4$ 有 $4$ 个值。

对于 $5$ ： $\max(1, c) = 1 + \min(2, c)$ ，且 $c \ge 1$ ，这迫使 $c = 3$ 有 $1$ 个值。对于 $7$ ： $\max(0, d) = \min(1, d)$ ，所以 $d = 0$ 或 $1$ 有 $2$ 个值。

总数为 $6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48$ 。

因此，正确答案是 D。

Write $n = 2^a 3^b 5^c 7^d \cdots.$ Since $5! = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ has no other primes, $n$ can only involve $2, 3, 5, 7.$ Matching exponents in $\operatorname{lcm}(5!, n) = 5 \cdot \gcd(10!, n):$

For $2:$ $\max(3, a) = \min(8, a),$ so $3 \le a \le 8$ gives $6$ values. For $3:$ $\max(1, b) = \min(4, b),$ so $1 \le b \le 4$ gives $4$ values.

For $5:$ $\max(1, c) = 1 + \min(2, c)$ with $c \ge 1,$ which forces $c = 3,$ giving $1$ value. For $7:$ $\max(0, d) = \min(1, d),$ so $d = 0$ or $1,$ giving $2$ values.

The total is $6 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 48.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 21 题

答案：D

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

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