Question

前 $2007$ 个正整数都写成 $3$ 进制。其中有多少个 $3$ 进制表示是回文数？（回文数从前往后读与从后往前读相同。）

The first $2007$ positive integers are each written in base $3.$ How many of these base- $3$ representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)

$100$

$101$

$102$

$103$

$104$

答案：A

知识点：进制回文数分类讨论

难度评级：2100

小提示：

按 $3$ 进制位数数回文数；注意 $3^6=729\lt2007\lt2187=3^7$ 。

Count base- $3$ palindromes by their number of digits; note $3^6=729\lt2007\lt2187=3^7$

大提示：

先数出最多 $7$ 位的所有回文数，再去掉超过 $2007=2202100_3$ 的 $7$ 位回文数。

Total all palindromes with up to $7$ digits, then remove the $7$ -digit ones exceeding $2007=2202100_3$

解答：

回文数由前半部分决定。按 $3$ 进制位数计数，长度 $1$ 或 $2$ 的有 $2$ 个，长度 $3$ 或 $4$ 的有 $6$ 个，长度 $5$ 或 $6$ 的有 $18$ 个，长度 $7$ 的有 $54$ 个。

最多七位的总数为 $2+2+6+6+18+18$ $+54=106$ 。在 $7$ 位数中，因为 $2007=2202100_3$ ，超过它的 $7$ 位回文数为 $2210122$ 、 $2211122$ 、 $2212122$ 、 $2220222$ 、 $2221222$ 、 $2222222$ ，共有 $6$ 个。

因此答案为 $106-6=100$ 。

所以正确答案是 A。

A palindrome is fixed by its first half. Counting base- $3$ palindromes by length gives $2$ of length $1$ or $2,$ $6$ of length $3$ or $4,$ $18$ of length $5$ or $6,$ and $54$ of length $7.$

That totals $2+2+6+6+18+18$ $+54=106$ palindromes with at most $7$ digits. Since $2007=2202100_3,$ the $7$ -digit palindromes larger than it are $2210122,$ $2211122,$ $2212122,$ $2220222,$ $2221222,$ and $2222222,$ which is $6$ of them.

Therefore the count is $106-6=100.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B 第 21 题

答案：A

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题