Question

方程 $\begin{aligned} &(z - 1)(z^2 + 2z + 4) \\ &\quad {}\cdot (z^2 + 4z + 6) = 0 \end{aligned}$ 的五个解可写成 $x_k + y_k i$ 的形式，其中 $1 \le k \le 5$ ，且 $x_k$ 和 $y_k$ 为实数。设 $E$ 是唯一一条经过点 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2, y_2)$ 、 $(x_3, y_3)$ 、 $(x_4, y_4)$ 和 $(x_5, y_5)$ 的椭圆。椭圆 $E$ 的离心率可写成 $\sqrt{\tfrac{m}{n}}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

（回忆：椭圆 $E$ 的离心率是 $\tfrac{c}{a}$ ，其中 $2a$ 是 $E$ 的长轴长， $2c$ 是两个焦点之间的距离。）

The five solutions to the equation $\begin{aligned} &(z - 1)(z^2 + 2z + 4) \\ &\quad {}\cdot (z^2 + 4z + 6) = 0 \end{aligned}$ may be written in the form $x_k + y_k i$ for $1 \le k \le 5,$ where $x_k$ and $y_k$ are real. Let $E$ be the unique ellipse that passes through the points $(x_1, y_1),$ $(x_2, y_2),$ $(x_3, y_3),$ $(x_4, y_4),$ and $(x_5, y_5).$ The eccentricity of $E$ can be written in the form $\sqrt{\tfrac{m}{n}},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

(Recall that the eccentricity of an ellipse $E$ is the ratio $\tfrac{c}{a},$ where $2a$ is the length of the major axis of $E$ and $2c$ is the distance between its two foci.)

$7$

$9$

$11$

$13$

$15$

答案：A

知识点：椭圆复数方程组

难度评级：2450

小提示：

五个根是 $(1, 0)$ ， $(-1, \pm\sqrt3)$ ，和 $(-2, \pm\sqrt2)$ ；它们关于 $x$ -轴对称

The five roots are $(1, 0),$ $(-1, \pm\sqrt3),$ and $(-2, \pm\sqrt2);$ they are symmetric about the $x$ -axis

大提示：

用 $Ax^2 + Cy^2 + Dx + F = 0$ 拟合这些点，再读出 $a^2$ 和 $b^2$ ，求 $e^2 = 1 - \tfrac{b^2}{a^2}$ 。

Fit $Ax^2 + Cy^2 + Dx + F = 0$ through the points, then read off $a^2$ and $b^2$ to find $e^2 = 1 - \tfrac{b^2}{a^2}$

解答：

根为 $z = 1$ ， $z = -1 \pm i\sqrt3$ ，和 $z = -2 \pm i\sqrt2$ ，对应点 $(1, 0)$ ， $(-1, \pm\sqrt3)$ ，和 $(-2, \pm\sqrt2)$ 。由于关于 $x$ -轴对称，椭圆具有形式 $Ax^2 + Cy^2 + Dx + F = 0$ 。

代入这些点得到 $5x^2 + 6y^2 + 9x - 14 = 0$ 。配方得 $5\left(x + \tfrac{9}{10}\right)^2 + 6y^2 = \tfrac{361}{20}\text{，}$ 所以 $a^2 = \tfrac{361}{100}$ （沿 $x$ 方向），且 $b^2 = \tfrac{361}{120}$ 。于是 $e^2 = 1 - \dfrac{b^2}{a^2} = 1 - \dfrac{100}{120} = \dfrac16$ ，所以 $e = \sqrt{\tfrac16}$ 。

因此 $m = 1$ ， $n = 6$ ，得 $m + n = 7$ 。

因此，正确答案是 A。

The roots are $z = 1,$ $z = -1 \pm i\sqrt3,$ and $z = -2 \pm i\sqrt2,$ giving the points $(1, 0),$ $(-1, \pm\sqrt3),$ and $(-2, \pm\sqrt2).$ By symmetry about the $x$ -axis, the ellipse has the form $Ax^2 + Cy^2 + Dx + F = 0.$

Substituting the points yields $5x^2 + 6y^2 + 9x - 14 = 0.$ Completing the square gives $5\left(x + \tfrac{9}{10}\right)^2 + 6y^2 = \tfrac{361}{20},$ so $a^2 = \tfrac{361}{100}$ (along $x$ ) and $b^2 = \tfrac{361}{120}.$ Then $e^2 = 1 - \dfrac{b^2}{a^2} = 1 - \dfrac{100}{120} = \dfrac16,$ so $e = \sqrt{\tfrac16}.$

With $m = 1$ and $n = 6,$ we get $m + n = 7.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12A Spring 第 21 题

答案：A

难度评级：2450

小提示：

大提示：

解答：

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