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2018 AMC 12B 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

在 △ABC\triangle ABC 中，边长为 AB=13AB=13、AC=12AC=12 和 BC=5BC=5，令 OO 与 II 分别表示外心和内心。一个圆心为 MM 的圆与直角边 ACAC 和 BCBC 以及 △ABC\triangle ABC 的外接圆相切。△MOI\triangle MOI 的面积是多少？

In △ABC\triangle ABC with side lengths AB=13,AB=13, AC=12,AC=12, and BC=5,BC=5, let OO and II denote the circumcenter and incenter, respectively. A circle with center MM is tangent to the legs ACAC and BCBC and to the circumcircle of △ABC.\triangle ABC. What is the area of △MOI?\triangle MOI?

52\dfrac{5}{2}

114\dfrac{11}{4}

33

134\dfrac{13}{4}

72\dfrac{7}{2}

答案：E
知识点：坐标几何外接圆、外心与外接圆半径内切圆、内心与内切圆半径相切圆
难度评级：2360
小提示：

该三角形在 CC 处为直角；把 CC 放在原点，并让两条直角边在坐标轴上。

The triangle is right-angled at C;C; put CC at the origin with the legs on the axes

大提示：

OO 是斜边中点，且 I=(2,2)I=(2,2)；圆心在 M=(ρ,ρ)M=(\rho,\rho) 的圆与外接圆相切。

OO is the midpoint of the hypotenuse and I=(2,2);I=(2,2); the circle at M=(ρ,ρ)M=(\rho,\rho) is tangent to the circumcircle

解答：

因为 52+122=1325^2+12^2=13^2，三角形在 CC 处为直角。设 C=(0,0)C=(0,0)、A=(12,0)A=(12,0) 且 B=(0,5)B=(0,5)。则 OO 是 AB‾\overline{AB} 的中点，即 O=(6,52)O=\left(6,\tfrac52\right)，外接圆半径为 132\tfrac{13}{2}。内切圆半径为 面积s=3015=2\tfrac{\text{面积}}{s}=\tfrac{30}{15}=2，所以 I=(2,2)I=(2,2)。

因为以 MM 为圆心的圆与两条直角边都相切，所以 M=(ρ,ρ)M=(\rho,\rho)。与外接圆内切给出 MO=132−ρMO=\tfrac{13}{2}-\rho。令它等于 (ρ−6)2+(ρ−52)2\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2} 并求解，得到 ρ=4\rho=4，所以 M=(4,4)M=(4,4)。

对 M=(4,4)M=(4,4)、O=(6,52)O=\left(6,\tfrac52\right) 和 I=(2,2)I=(2,2) 用鞋带公式，面积为 72\tfrac72。

所以正确答案是 E。

Since 52+122=132,5^2+12^2=13^2, the triangle is right-angled at C.C. Set C=(0,0),C=(0,0), A=(12,0),A=(12,0), and B=(0,5).B=(0,5). Then OO is the midpoint of AB‾,\overline{AB}, namely O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), with circumradius 132.\tfrac{13}{2}. The inradius is areas=3015=2,\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2, so I=(2,2).I=(2,2).

Because MM’s circle is tangent to both legs, M=(ρ,ρ).M=(\rho,\rho). Internal tangency to the circumcircle gives MO=132−ρ.MO=\tfrac{13}{2}-\rho. Setting this equal to (ρ−6)2+(ρ−52)2\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2} and solving gives ρ=4,\rho=4, so M=(4,4).M=(4,4).

The shoelace formula on M=(4,4),M=(4,4), O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), I=(2,2)I=(2,2) gives area 72.\tfrac72.

Thus, the correct answer is E.

第 20 题#20
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第 22 题#22

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