Question

考虑次数至多为 $3$ 的多项式 $P(x)$ ，其每个系数都属于 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 。有多少个这样的多项式满足 $P(-1)=-9$ ？

Consider polynomials $P(x)$ of degree at most $3,$ each of whose coefficients is an element of $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$ How many such polynomials satisfy $P(-1)=-9?$

$110$

$143$

$165$

$220$

$286$

答案：D

知识点：隔板法换元法

难度评级：2330

小提示：

写 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ；则 $P(-1)=-a+b-c+d=-9$ 。

Write $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d;$ then $P(-1)=-a+b-c+d=-9$

大提示：

代换 $a'=9-a$ 与 $c'=9-c$ ，化为 $a'+b+c'+d=9$ ，且每个变量都在 $[0,9]$ 中。

Substitute $a'=9-a$ and $c'=9-c$ to turn it into $a'+b+c'+d=9$ with each variable in $[0,9]$

解答：

写 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ，其中 $a,b,c,d$ 都在 $\{0,\ldots,9\}$ 中。条件为 $-a+b-c+d=-9$ 。

令 $a'=9-a$ 和 $c'=9-c$ ，它们也都在 $[0,9]$ 中。于是 $a'+b+c'+d=9$ 。由隔板法，非负整数解的个数为 $\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220$ ，且因为总和是 $9$ ，每个变量自动不超过上界。

所以正确答案是 D。

Write $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ with each of $a,b,c,d$ in $\{0,\ldots,9\}.$ The condition is $-a+b-c+d=-9.$

Let $a'=9-a$ and $c'=9-c,$ both in $[0,9].$ Then $a'+b+c'+d=9.$ By stars and bars the number of nonnegative solutions is $\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220,$ and each automatically satisfies the upper bounds since the sum is $9.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12B 第 22 题

答案：D

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题