1951 AMC 12 第 22 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1951 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

方程 $\log_{10}(a^2-15a)=2$ 中 $a$ 的值为：

The values of $a$ in the equation $\log_{10}(a^2-15a)=2$ are:

$\dfrac{15\pm\sqrt{233}}{2}$

$20$ 、 $-5$

$20,$ $-5$

$\dfrac{15\pm\sqrt{305}}{2}$

$\pm20$

以上答案均不正确

None of these

答案：B

知识点：对数二次方程

难度评级：1400

小提示：

将对数方程改写成指数形式

Convert the logarithmic equation to exponential form

大提示：

解方程 $a^2-15a=100$

Solve $a^2-15a=100$

解答：

原方程等价于 $a^2-15a=10^2=100$ ，所以 $\begin{aligned} &a^2-15a-100\\ &\quad=(a-20)(a+5)\\ &\quad=0 \end{aligned}\text{。}$ $a=20$ 与 $a=-5$ 都使对数的真数等于 $100$ ，因此两个解都有效。

因此，正确答案是 B。

The equation is equivalent to $a^2-15a=10^2=100,$ so $\begin{aligned} &a^2-15a-100\\ &\quad=(a-20)(a+5)\\ &\quad=0. \end{aligned}$ Both $a=20$ and $a=-5$ make the logarithm’s argument $100,$ so both are valid.

Thus, the correct answer is B.

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