Question

对每个正整数 $n$ ，设 $S(n)$ 表示 $n$ 的各位数字之和。有多少个 $n$ 满足 $n+S(n)+S(S(n))=2007$ ？

For each positive integer $n,$ let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n.$ For how many values of $n$ is $n+S(n)+S(S(n))=2007?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：D

知识点：数字模运算极限情形界定

难度评级：1910

小提示：

$n$ 、 $S(n)$ 和 $S(S(n))$ 三者模 $9$ 的余数相同。

All three of $n,$ $S(n),$ and $S(S(n))$ leave the same remainder modulo $9$

大提示：

因为 $2007$ 是 $9$ 的倍数，所以三者都是 $3$ 的倍数；此外 $n\ge 2007-28-10$ 。

Since $2007$ is a multiple of $9,$ each is a multiple of $3$ ; also $n\ge 2007-28-10$

解答：

对 $n\le 2007$ 有 $S(n)\le S(1999)=28$ ，进而 $S(S(n))\le S(28)=10$ 。所以任何解都满足 $n\ge 2007-28-10=1969$ 。

又因为 $n$ 、 $S(n)$ 和 $S(S(n))$ 模 $9$ 同余，而 $2007$ 是 $9$ 的倍数，所以三者都必须是 $3$ 的倍数。

检查 $1969$ 到 $2007$ 之间的 $3$ 的倍数（许多数会因 $n+S(n)$ 已超过 $2007$ 而被排除），剩下 $1977,1980,1983$ 和 $2001$ 。共有 $4$ 个值。

因此，正确答案是 D。

For $n\le 2007,$ $S(n)\le S(1999)=28,$ and then $S(S(n))\le S(28)=10.$ So any solution has $n\ge 2007-28-10=1969.$

Also $n,$ $S(n),$ and $S(S(n))$ are congruent modulo $9,$ and $2007$ is a multiple of $9,$ so all three must be multiples of $3.$

Checking the multiples of $3$ between $1969$ and $2007$ (many are eliminated because $n+S(n)$ already exceeds $2007$ ) leaves $1977,1980,1983,$ and $2001.$ That is $4$ values.

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12A 第 22 题

答案：D

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题