Question

在三维直角坐标系中，有多少条直线经过四个不同的形如 $(i,j,k)$ 的点，其中 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 都是不超过四的正整数？

How many lines in a three-dimensional rectangular coordinate system pass through four distinct points of the form $(i,j,k),$ where $i,$ $j,$ and $k$ are positive integers not exceeding four?

$60$

$64$

$72$

$76$

$100$

答案：D

知识点：立体几何格点基本计数

难度评级：2040

小提示：

在这个 $4$ 乘 $4$ 乘 $4$ 网格中，四个共线格点的各坐标步长必须为 $0$ 或 $\pm1$

Four collinear lattice points in this $4$ -by- $4$ -by- $4$ grid must advance by coordinate steps $0$ or $\pm1$

大提示：

分别数出平行于坐标轴的直线、面对角线和空间对角线

Count axis-parallel lines, face-diagonal lines, and space diagonals separately

解答：

平行于坐标轴的直线有 $3\cdot4^2=48$ 条。对于沿面对角线的方向，先用 $3$ 种方法选择两个变化的坐标，再选择 $2$ 种对角线斜率之一，并用 $4$ 种方法固定剩余坐标，共有 $3\cdot2\cdot4=24$ 条。最后，立方体有 $4$ 条空间对角线。因此总数为 $48+24+4=76$ 。

所以正确答案是 D。

There are $3\cdot4^2=48$ axis-parallel lines. For face-diagonal directions, choose the pair of varying coordinates in $3$ ways, choose one of $2$ diagonal slopes, and fix the remaining coordinate in $4$ ways, giving $3\cdot2\cdot4=24.$ Finally, the cube has $4$ space diagonals. Thus the total is $48+24+4=76.$

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 第 22 题

答案：D

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题