Question

考虑下列等式：

$\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0$ $\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab$ $\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ $\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b$

其中允许 $a$ 与 $b$ 为实数或复数。除 $a=0$ 且 $b=0$ 外仍存在解的等式是：

Consider the statements:

$\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0$ $\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab$ $\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ $\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b$

where we allow $a$ and $b$ to be real or complex numbers. Those statements for which there exist solutions other than $a=0$ and $b=0,$ are:

$(\mathrm{I})$ ， $(\mathrm{II})$ ， $(\mathrm{III})$ ， $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

仅 $(\mathrm{II})$ ， $(\mathrm{III})$ ， $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

仅 $(\mathrm{I})$ ， $(\mathrm{III})$ ， $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

仅 $(\mathrm{III})$ ， $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

仅 $(\mathrm{I})$

$(\mathrm{I})$ only

答案：A

知识点：复数反例根式

难度评级：1880

小提示：

对每个等式，找到一个非零解即可

One nonzero example is enough for each statement

大提示：

对 $(\mathrm{I})$ 尝试 $b=i$ ，对 $(\mathrm{II})$ 取两个相等正值，对 $(\mathrm{III})$ 和 $(\mathrm{IV})$ 取 $b=0$

Try $b=i$ for $(\mathrm{I}),$ equal positive values for $(\mathrm{II}),$ and $b=0$ for $(\mathrm{III})$ and $(\mathrm{IV})$

解答：

每个等式都有非零解。对 $(\mathrm{I})$ ，取 $(a,b)=(1,i)$ 。对 $(\mathrm{II})$ ，取 $a=b=\sqrt2$ ，此时 $\sqrt4=2=ab$ 。对 $(\mathrm{III})$ 和 $(\mathrm{IV})$ ，都取 $(a,b)=(1,0)$ 。因此四个等式都符合要求。

因此，正确答案是 A。

Every statement has a nonzero solution. For $(\mathrm{I}),$ use $(a,b)=(1,i).$ For $(\mathrm{II}),$ use $a=b=\sqrt2,$ giving $\sqrt4=2=ab.$ For both $(\mathrm{III})$ and $(\mathrm{IV}),$ use $(a,b)=(1,0).$ Thus all four statements qualify.

Therefore, the correct answer is A.

1966 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题