Question

湖面结冰时，一个球正漂浮在湖中。取出这个球时没有破坏冰面，留下的洞在冰面处宽 $24$ 厘米、深 $8$ 厘米。这个球的半径是多少厘米？

A ball was floating in a lake when the lake froze. The ball was removed (without breaking the ice), leaving a hole $24$ cm across at the top and $8$ cm deep. What was the radius of the ball (in centimeters)?

$8$

$12$

$13$

$8\sqrt3$

$6\sqrt6$

答案：C

知识点：sphere cross-section 直角三角形 chord geometry

难度评级：1790

小提示：

取一个经过圆形洞中心的竖直截面

Take a vertical cross-section through the center of the circular hole

大提示：

半弦长为 $12$ ，而球心到冰面的距离为 $r-8$

The half-chord is $12,$ while the center-to-ice distance is $r-8$

解答：

在竖直截面中，宽 $24$ 厘米的洞的一半是一条长为 $12$ 的弦段。若球的半径为 $r$ ，则球心到冰面的距离为 $r-8$ 。由此形成的直角三角形满足 $(r-8)^2+12^2=r^2\text{。}$ 解得 $16r=208$ ，所以 $r=13$ 。

因此，正确答案是 C。

In a vertical cross-section, half the $24$ -cm hole is a chord segment of length $12.$ If the sphere radius is $r,$ the distance from its center to the ice plane is $r-8.$ The resulting right triangle gives $(r-8)^2+12^2=r^2.$ Solving yields $16r=208,$ so $r=13.$

Thus the correct answer is C.

1987 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题