Question

锐角三角形 $ABC$ 内接于以 $O$ 为圆心的圆，且 $\overset{\frown}{AB}=120^\circ$ 、 $\overset{\frown}{BC}=72^\circ$ 。取一点 $E$ 于劣弧 $AC$ 上，使 $OE$ 垂直于 $AC$ 。角 $OBE$ 与角 $BAC$ 的度数之比是：

Acute-angled triangle $ABC$ is inscribed in a circle with center at $O;$ $\overset{\frown}{AB}=120^\circ$ and $\overset{\frown}{BC}=72^\circ.$ A point $E$ is taken in minor arc $AC$ such that $OE$ is perpendicular to $AC.$ Then the ratio of the magnitudes of angles $OBE$ and $BAC$ is:

$\dfrac5{18}$

$\dfrac29$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac49$

答案：D

知识点：弧圆周角等腰三角形

难度评级：2030

小提示：

先求劣弧 $AC$ 的度数，再利用 $OE\perp AC$ 确定 $E$ 是该弧的中点

Find minor arc $AC,$ then use $OE\perp AC$ to locate $E$ at its midpoint

大提示：

计算圆心角 $BOE$ 和圆周角 $BAC$

Compute the central angle $BOE$ and the inscribed angle $BAC$

解答：

劣弧 $AC$ 的度数为 $360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ$ 。因为 $OE\perp AC$ ，所以 $E$ 平分该弧，故 $\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ$ 。等腰三角形 $OBE$ 给出 $\angle OBE=12^\circ$ ，而 $\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ$ 。二者之比为 $\frac{1}{3}$ 。

所以正确答案是 D。

Minor arc $AC$ has measure $360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ.$ Since $OE\perp AC,$ $E$ bisects that arc, so $\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ.$ Isosceles triangle $OBE$ gives $\angle OBE=12^\circ,$ while $\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$ Their ratio is $\frac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

1963 AMC 12 第 22 题

答案：D

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题