Question

在平行四边形 $ABCD$ 中， $E$ 是对角线 $BD$ 的中点。将点 $E$ 与边 $DA$ 上一点 $F$ 相连，使 $DF=\frac13DA$ 。三角形 $DFE$ 的面积与四边形 $ABEF$ 的面积之比是多少？

Given parallelogram $ABCD$ with $E$ the midpoint of diagonal $BD.$ Point $E$ is connected to a point $F$ in $DA$ so that $DF=\frac13DA.$ What is the ratio of the area of triangle $DFE$ to the area of quadrilateral $ABEF?$

$1:2$

$1:3$

$1:5$

$1:6$

$1:7$

答案：C

知识点：平行四边形面积比中点三角形面积

难度评级：1670

小提示：

使用向量 $A=0$ 、 $B=u$ 、 $D=v$

Use vectors $A=0,$ $B=u,$ and $D=v$

大提示：

此时 $E=\frac{u+v}{2}$ 且 $F=\frac{2v}{3}$ ；分别求两部分面积占平行四边形面积的比例

Then $E=\frac{u+v}{2}$ and $F=\frac{2v}{3}$ ; compute both areas as fractions of the parallelogram

解答：

设平行四边形面积为 $S=|u\times v|$ ，并取 $A=0$ 、 $B=u$ 、 $D=v$ 。则 $E=\frac{u+v}{2}$ ， $F=\frac{2v}{3}$ 。由行列式得 $[DFE]=\frac{S}{12}$ 。对于四边形 $ABEF$ ，两部分面积给出 $[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}\text{。}$ 所求比为 $1:5$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the parallelogram’s area be $S=|u\times v|,$ with $A=0,$ $B=u,$ and $D=v.$ Then $E=\frac{u+v}{2}$ and $F=\frac{2v}{3}.$ Determinants give $[DFE]=\frac{S}{12}.$ For quadrilateral $ABEF,$ the two determinant contributions give $[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}.$ The desired ratio is $1:5.$

Therefore, the correct answer is C.

1964 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1670

小提示：

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解答：

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