Question

给定一个边长为 $s$ 的等边三角形。考虑该三角形所在平面内所有满足下列条件的点 $P$ ： $P$ 到三个顶点的距离平方和为定值 $a$ 。这个轨迹

Given an equilateral triangle with side of length $s,$ consider the locus of all points $P$ in the plane of the triangle such that the sum of the squares of the distances from $P$ to the vertices of the triangle is a fixed number $a.$ This locus

当 $a\gt s^2$ 时是一个圆

is a circle if $a\gt s^2$

当 $a=2s^2$ 时只含三个点，而当 $a\gt2s^2$ 时是一个圆

contains only three points if $a=2s^2$ and is a circle if $a\gt2s^2$

仅当 $s^2\lt a\lt2s^2$ 时是一个半径为正的圆

is a circle with positive radius only if $s^2\lt a\lt2s^2$

无论 $a$ 取何值，都只含有限个点

contains only a finite number of points for any value of $a$

以上都不是

is none of these

答案：A

知识点：重心圆距离公式

难度评级：2110

小提示：

设 $G$ 为重心，用 $PG^2$ 表示这个距离平方和

Let $G$ be the centroid and express the sum using $PG^2$

大提示：

对于等边三角形，这个和等于 $3PG^2+s^2$

For an equilateral triangle, the sum equals $3PG^2+s^2$

解答：

设三个顶点为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，重心为 $G$ ，并令 $T=GA^2+GB^2+GC^2$ 。重心恒等式给出 $PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T\text{。}$ 在等边三角形中，每个 $GA=\frac{s}{\sqrt3}$ ，所以 $T=s^2$ 。因此 $3PG^2=a-s^2$ 。当 $a\lt s^2$ 时轨迹为空集；当 $a=s^2$ 时只有一个点；当 $a\gt s^2$ 时是半径为正的圆。

所以正确答案是 A。

For vertices $A,$ $B,$ and $C$ with centroid $G,$ put $T=GA^2+GB^2+GC^2.$ The standard centroid identity gives $PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T.$ In an equilateral triangle, each $GA=\frac{s}{\sqrt3},$ so $T=s^2.$ Hence $3PG^2=a-s^2.$ The locus is empty for $a\lt s^2,$ one point for $a=s^2,$ and a circle of positive radius for $a\gt s^2.$

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题