Question

共有多少个整数 $x$ ，使得以 $10$ 、 $24$ 和 $x$ 为边长的三角形的所有内角均为锐角？

For how many integers $x$ does a triangle with side lengths $10,$ $24,$ and $x$ have all its angles acute?

$4$

$5$

$6$

$7$

多于 $7$ 个

more than $7$

答案：A

知识点：acute triangles Pythagorean inequalities integer counting

难度评级：1760

小提示：

针对最大边的每一种可能情况，应用严格的勾股不等式

Apply the strict Pythagorean inequality to the largest side in each possible ordering

大提示：

以 $24$ 为对边的角和以 $x$ 为对边的角给出关键的范围限制

The angle opposite $24$ and the angle opposite $x$ give the restrictive bounds

解答：

三角形为锐角三角形要求 $x^2<10^2+24^2=676$ 且 $24^2<10^2+x^2$ ，所以 $x<26$ 且 $x^2>476$ 。对于整数 $x$ ，由此得到 $22\le x\le25$ 。这四个值也都满足三角不等式，因此共有 $4$ 个值。

因此，正确答案是 A。

Acuteness requires $x^2<10^2+24^2=676$ and $24^2<10^2+x^2,$ so $x<26$ and $x^2>476.$ For integer $x,$ this gives $22\le x\le25.$ All four values also satisfy the triangle inequality, so there are $4$ values.

Thus the correct answer is A.

1988 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题