Question

在等式 $(x+m)^2-(x+n)^2=(m-n)^2$ 中， $m$ 和 $n$ 是不相等的非零常数。若 $x=am+bn$ 满足该等式，则：

The equality $(x+m)^2-(x+n)^2=(m-n)^2,$ where $m$ and $n$ are unequal non-zero constants, is satisfied by $x=am+bn$ where:

$a=0$ ，且 $b$ 有唯一的非零值

$a=0,$ $b$ has a unique non-zero value

$a=0$ ，且 $b$ 有两个非零值

$a=0,$ $b$ has two non-zero values

$b=0$ ，且 $a$ 有唯一的非零值

$b=0,$ $a$ has a unique non-zero value

$b=0$ ，且 $a$ 有两个非零值

$b=0,$ $a$ has two non-zero values

$a$ 和 $b$ 各有唯一的非零值

$a$ and $b$ each have a unique non-zero value

答案：A

知识点：平方差一次方程换元法

难度评级：1280

小提示：

对两个平方之差进行因式分解

Factor the difference of the two squares

大提示：

约去非零因式 $m-n$ ，再求 $x$

Cancel the nonzero factor $m-n$ and solve for $x$

解答：

利用 $m\ne n$ 并因式分解，得 $\begin{gathered} (m-n)(2x+m+n)\\ {}=(m-n)^2 \end{gathered}\text{。}$ 因此 $2x+m+n=m-n$ ，所以 $x=-n$ 。于是 $a=0$ ，且 $b=-1$ ，这是唯一的非零值。

因此，正确答案是 A。

Factoring and using $m\ne n$ gives $\begin{gathered} (m-n)(2x+m+n)\\ {}=(m-n)^2. \end{gathered}$ Hence $2x+m+n=m-n,$ so $x=-n.$ Thus $a=0$ and $b=-1,$ a unique nonzero value.

Therefore, the correct answer is A.

1960 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题