Question

在圆心为 $O$ 的圆中， $AD$ 是直径， $ABC$ 是一条弦， $BO=5$ ，且 $\angle ABO=\overset{\frown}{CD}=60^\circ$ 。则 $BC$ 的长度为

In a circle with center $O,$ $AD$ is a diameter, $ABC$ is a chord, $BO=5$ and $\angle ABO=\overset{\frown}{CD}=60^\circ.$ Then the length of $BC$ is

$3$

$3+\sqrt3$

$5-\frac{\sqrt3}{2}$

$5$

以上都不是

none of the above

答案：D

知识点：圆圆周角特殊直角三角形

难度评级：2130

小提示：

$60^\circ$ 的弧 $CD$ 使 $\angle CAD=30^\circ$

The $60^\circ$ arc $CD$ makes $\angle CAD=30^\circ$

大提示：

利用所得的 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形比较 $AB$ 和 $AC$

Use the resulting $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangles to compare $AB$ and $AC$

解答：

弧 $CD$ 给出 $\angle CAD=30^\circ$ 。由于 $A,B,C$ 共线，且 $A,O,D$ 共线， $\angle BAO=30^\circ$ 。再结合 $\angle ABO=60^\circ$ ，三角形 $ABO$ 是 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形。由于 $BO=5$ ，得到 $AB=10$ ，且 $AO=5\sqrt3$ 。

又因为 $AD$ 是直径，所以 $\angle ACD=90^\circ$ 。在 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形 $ACD$ 中，斜边 $AD=10\sqrt3$ ，所以 $AC=15$ 。因此 $BC=AC-AB=5$ 。

所以正确答案是 D。

Arc $CD$ gives $\angle CAD=30^\circ.$ Since $A,B,C$ are collinear and $A,O,D$ are collinear, $\angle BAO=30^\circ.$ With $\angle ABO=60^\circ,$ triangle $ABO$ is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle. Because $BO=5,$ we get $AB=10$ and $AO=5\sqrt3.$

Also $\angle ACD=90^\circ$ because $AD$ is a diameter. In the $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle $ACD,$ the hypotenuse is $AD=10\sqrt3,$ so $AC=15.$ Therefore $BC=AC-AB=5.$

Thus the correct answer is D.

1985 AMC 12 第 22 题

答案：D

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题