Question

若 $a\pm bi$ $(b\ne0)$ 是方程 $x^3+qx+r=0$ 的虚根，其中 $a$ ， $b$ ， $q$ ，和 $r$ 均为实数，则用 $a$ 和 $b$ 表示的 $q$ 为：

If $a\pm bi$ $(b\ne0)$ are imaginary roots of the equation $x^3+qx+r=0,$ where $a,$ $b,$ $q,$ and $r$ are real numbers, then $q$ in terms of $a$ and $b$ is:

$a^2+b^2$

$2a^2-b^2$

$b^2-a^2$

$b^2-2a^2$

$b^2-3a^2$

答案：E

知识点：复数多项式韦达定理

难度评级：2080

小提示：

共轭数 $a-bi$ 也是一个根

The conjugate $a-bi$ is another root

大提示：

因为 $x^2$ 项系数为零，先确定第三个根，再利用两两乘积之和

Because the $x^2$ coefficient is zero, determine the third root and then use the sum of pairwise products

解答：

共轭根为 $a-bi$ 。因为三个根之和为 $0$ ，第三个根是 $-2a$ 。由韦达定理， $\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

The conjugate root is $a-bi.$ Since the sum of the three roots is $0,$ the third root is $-2a.$ By Vieta’s formulas, $\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1972 AMC 12 第 22 题

答案：E

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题