Question

若方程 $x^6=-64$ 的六个解写成 $a+bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，那么所有满足 $a\gt0$ 的解的乘积为

If the six solutions of $x^6=-64$ are written in the form $a+bi,$ where $a$ and $b$ are real, then the product of those solutions with $a\gt0$ is

$-2$

$0$

$2i$

$4$

$16$

答案：D

知识点：complex roots polar form

难度评级：2230

小提示：

将 $-64$ 写成极形式，并列出它的六个六次方根

Write $-64$ in polar form and list its six sixth roots

大提示：

实部为正的两个根构成一对共轭复数

The roots with positive real part form a conjugate pair

解答：

这些根的模为 $2$ ，辐角为 $\frac\pi6+\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,\ldots,5\text{。}$ 实部为正的两个根的辐角分别为 $\frac{\pi}{6}$ 和 $\frac{11\pi}{6}$ 。它们互为共轭，模均为 $2$ ，所以乘积为 $2^2=4$ 。

所以正确答案是 D。

The roots have modulus $2$ and arguments $\frac\pi6+\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,\ldots,5.$ The roots with positive real part have arguments $\frac{\pi}{6}$ and $\frac{11\pi}{6}.$ They are conjugates of modulus $2,$ so their product is $2^2=4.$

Thus the correct answer is D.

1990 AMC 12 第 22 题

答案：D

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题