LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2021 AMC 12A Spring 第 22 题

先试着解答 2021 AMC 12A Spring 第 22 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2021 AMC 12A Spring 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

假设多项式 P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 的根为 cos⁡2π7\cos\tfrac{2\pi}{7}、cos⁡4π7\cos\tfrac{4\pi}{7} 和 cos⁡6π7\cos\tfrac{6\pi}{7}，其中角度以弧度计。求 abcabc。

Suppose that the roots of the polynomial P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c are cos⁡2π7,\cos\tfrac{2\pi}{7}, cos⁡4π7,\cos\tfrac{4\pi}{7}, and cos⁡6π7,\cos\tfrac{6\pi}{7}, where angles are in radians. What is abc?abc?

−349-\dfrac{3}{49}

−128-\dfrac{1}{28}

7364\dfrac{\sqrt[3]{7}}{64}

132\dfrac{1}{32}

128\dfrac{1}{28}

答案：D
知识点：单位根多项式韦达定理
难度评级：2450
小提示：

这三个余弦值是 8x3+4x2−4x−1=08x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 0 的根

The three cosines are the roots of 8x3+4x2−4x−1=08x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 0

大提示：

除以 88 来匹配 x3+ax2+bx+cx^3 + ax^2 + bx + c，直接读出 a,b,ca, b, c。

Divide by 88 to match x3+ax2+bx+c,x^3 + ax^2 + bx + c, reading off a,b,ca, b, c directly

解答：

设三个根为 r1,r2,r3r_1,r_2,r_3。由七次单位根可得 r1+r2+r3=−12r_1+r_2+r_3=-\tfrac12。把这三个角都加倍只是把它们的余弦值重新排列，所以 ∑ri2=32+12∑ri=54\sum r_i^2=\tfrac32+\tfrac12\sum r_i=\tfrac54。于是 r1r2+r1r3+r2r3r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 等于 12((∑ri)2−∑ri2)=−12\tfrac12((\sum r_i)^2-\sum r_i^2)=-\tfrac12。

由积化和差公式得 4r1r2r3=1+r1+r2+r3=124r_1r_2r_3=1+r_1+r_2+r_3=\tfrac12，所以 r1r2r3=18r_1r_2r_3=\tfrac18。因此它们的首一多项式为 x3+12x2−12x−18=0。 x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0\text{。}

对比系数得 a=12a = \tfrac12，b=−12b = -\tfrac12，c=−18c = -\tfrac18。因此 abc=12⋅(−12)⋅(−18)=132abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}。

因此，正确答案是 D。

Let the three roots be r1,r2,r3.r_1,r_2,r_3. The seventh roots of unity give r1+r2+r3=−12.r_1+r_2+r_3=-\tfrac12. Doubling the three angles merely permutes their cosines, so ∑ri2=32+12∑ri=54.\sum r_i^2=\tfrac32+\tfrac12\sum r_i=\tfrac54. Hence r1r2+r1r3+r2r3r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 equals 12((∑ri)2−∑ri2)=−12.\tfrac12((\sum r_i)^2-\sum r_i^2)=-\tfrac12.

The product-to-sum identity gives 4r1r2r3=1+r1+r2+r3=12,4r_1r_2r_3=1+r_1+r_2+r_3=\tfrac12, so r1r2r3=18.r_1r_2r_3=\tfrac18. Therefore their monic polynomial is x3+12x2−12x−18=0. x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.

Matching coefficients, a=12,a = \tfrac12, b=−12,b = -\tfrac12, c=−18.c = -\tfrac18. Therefore abc=12⋅(−12)⋅(−18)=132.abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}.

Thus, the correct answer is D.

第 21 题#21
完整试卷
第 23 题#23

其他年份的第 22 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B