Question

设 $f(x)$ 是实变量 $x$ 的实值函数，且 $f(x)$ 不恒为零。若对所有 $a$ 和 $b$ ，都有 $\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b) \end{gathered}\text{，}$ 则对所有 $x$ 和 $y$

If $f(x)$ is a real-valued function of the real variable $x,$ and $f(x)$ is not identically zero, and for all $a$ and $b$ $\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b), \end{gathered}$ then for all $x$ and $y$

$f(0)=1$

$f(-x)=-f(x)$

$f(-x)=f(x)$

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

存在正数 $T$ ，使得 $f(x+T)=f(x)$

there is a positive number $T$ such that $f(x+T)=f(x)$

答案：C

知识点：函数方程函数换元法

难度评级：1710

小提示：

先代入 $a=b=0$

First substitute $a=b=0$

大提示：

再令 $a=0$ 且 $b=x$

Next set $a=0$ and $b=x$

解答：

令 $a=b=0$ ，得到 $2f(0)=4f(0)$ ，所以 $f(0)=0$ 。现在令 $a=0$ 且 $b=x$ ，方程变为 $\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x) \end{aligned}\text{，}$ 因此对每个实数 $x$ ，都有 $f(-x)=f(x)$ 。

因此，正确答案是 C。

Setting $a=b=0$ gives $2f(0)=4f(0),$ so $f(0)=0.$ Now set $a=0$ and $b=x.$ The equation becomes $\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x), \end{aligned}$ and hence $f(-x)=f(x)$ for every real $x.$

Therefore, the correct answer is C.

1977 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

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