Question

不同平面 $p_1$ 、 $p_2$ 、 $\ldots$ 、 $p_k$ 与立方体 $Q$ 的内部相交。设 $S$ 为 $Q$ 的各个面的并，且 $P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j$ 。 $P$ 与 $S$ 的交集，由 $Q$ 的每个面上任意两条边的中点之间的所有线段的并组成。 $k$ 的最大可能值与最小可能值之差是多少？

Distinct planes $p_1,$ $p_2,$ $\ldots,$ $p_k$ intersect the interior of a cube $Q.$ Let $S$ be the union of the faces of $Q$ and let $P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.$ The intersection of $P$ and $S$ consists of the union of all segments joining the midpoints of every pair of edges belonging to the same face of $Q.$ What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $k?$

$8$

$12$

$20$

$23$

$24$

答案：C

知识点：正方体立体几何分类讨论

难度评级：2460

小提示：

在每个面上，所画线段连接边的中点；将一个平面的截面分类为正方形、长方形、三角形或六边形

On each face the drawn segments join midpoints of edges; classify a plane’s cross-section as a square, rectangle, triangle, or hexagon

大提示：

对最大值，计算每种类型的所有平面；对最小值，用尽可能少的平面覆盖全部 $24$ 条短线段和 $12$ 条长线段

For the maximum, count all planes of each type; for the minimum, cover all $24$ short and $12$ long segments with as few planes as possible

解答：

在每个面上，所需线段都连接边的中点。一个平面截立方体时，会在各面上形成四种对称图形之一：经过中点的正方形（这样的平面有 $3$ 个）、每条边对应一个长方形（ $12$ 个平面）、每个顶点对应一个三角形（ $8$ 个平面），或每对相对顶点对应一个正六边形（ $4$ 个平面）。

全部使用时得到最大值 $k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27$ 。

完整图形由 $24$ 条短线段和 $12$ 条长线段组成。正方形平面所含短、长线段数为 $(0,4)$ ，长方形为 $(2,2)$ ，三角形为 $(3,0)$ ，六边形为 $(6,0)$ 。给每条短线段权重 $1$ ，每条长线段权重 $\frac{3}{2}$ 。每个平面覆盖的权重至多为 $6$ ，而全部所需线段的总权重为 $24+(\frac{3}{2})12=42$ 。因此至少需要 $7$ 个平面。 $4$ 个六边形平面覆盖全部 $24$ 条短线段， $3$ 个正方形平面覆盖全部 $12$ 条长线段，所以 $k=7$ 可以达到。

两者之差为 $27 - 7 = 20$ 。

因此，正确答案是 C。

On every face, the required segments join midpoints of edges. A plane cutting the cube meets the faces in one of four symmetric shapes: a square through midpoints ( $3$ such planes), a rectangle per edge ( $12$ planes), a triangle per vertex ( $8$ planes), or a regular hexagon per pair of opposite vertices ( $4$ planes).

Using all of them gives the maximum $k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.$

The full figure consists of $24$ short segments and $12$ long segments. A square plane contains $(0,4),$ a rectangle $(2,2),$ a triangle $(3,0),$ and a hexagon $(6,0)$ short and long segments, respectively. Give each short segment weight $1$ and each long segment weight $\frac{3}{2}.$ Every plane then covers weight at most $6,$ whereas the required segments have total weight $24+(\frac{3}{2})12=42.$ Thus at least $7$ planes are needed. The $4$ hexagon planes cover all $24$ short segments, and the $3$ square planes cover all $12$ long segments, so $k=7$ is attainable.

The difference is $27 - 7 = 20.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A 第 22 题

答案：C

难度评级：2460

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题