Question

设 $S$ 是一个正方形，它的一条对角线端点为 $(0.1, 0.7)$ 和 $(-0.1, -0.7)$ 。从所有实数 $x$ 和 $y$ 满足 $0 \le x \le 2012$ 且 $0 \le y \le 2012$ 的有序对中，均匀随机选取点 $v = (x, y)$ 。设 $T(v)$ 是 $S$ 的平移副本，并以 $v$ 为中心。由 $T(v)$ 确定的正方形区域内部恰好包含两个整数坐标点的概率是多少？

Let $S$ be the square one of whose diagonals has endpoints $(0.1, 0.7)$ and $(-0.1, -0.7).$ A point $v = (x, y)$ is chosen uniformly at random over all pairs of real numbers $x$ and $y$ such that $0 \le x \le 2012$ and $0 \le y \le 2012.$ Let $T(v)$ be a translated copy of $S$ centered at $v.$ What is the probability that the square region determined by $T(v)$ contains exactly two points with integer coordinates in its interior?

$0.125$

$0.14$

$0.16$

$0.25$

$0.32$

答案：C

知识点：几何概率格点面积

难度评级：2340

小提示：

正方形 $S$ 的对角线长度为 $\sqrt2$ ，面积为 $1$ ；利用周期性，把问题化到一个单位晶格格子内

The square $S$ has diagonals of length $\sqrt2$ and area $1;$ by periodicity, reduce to one unit cell of the lattice

大提示：

$T(v)$ 包含某个格点，当且仅当 $v$ 位于以该格点为中心的 $S$ 的副本内；包含两个格点需要 $v$ 位于相邻格点为中心的两个副本的重叠部分

$T(v)$ contains a lattice point exactly when $v$ lies in the copy of $S$ centered there; containing two requires $v$ in the overlap of copies centered at adjacent lattice points

解答：

从 $(0.1, 0.7)$ 到 $(-0.1, -0.7)$ 的对角线长度为 $\sqrt{0.2^2 + 1.4^2} = \sqrt2$ ，所以 $S$ 是面积为 $1$ 的正方形。平移图形 $T(v)$ 包含一个格点，当且仅当 $v$ 位于以该格点为中心的 $S$ 副本内部。

内部恰好包含两个格点，要求 $v$ 位于以两个相邻格点为中心的副本的重叠区域。由周期性，答案等于一个单位格内所有这类重叠区域的总面积。

考虑以 $(0,0)$ 和 $(1,0)$ 为中心的两个副本。它们的重叠区域是一个长方形。将所给半对角线旋转四分之一圈，可得到相关顶点 $(0.7,-0.1)$ 和 $(0.3,0.1)$ 。沿两组平行边找到交点，可得边长为 $0.4$ 和 $0.2$ ，所以重叠面积是 $0.08$ 。对角位置的副本不重叠，而水平和竖直相邻的情形贡献相同。计入单位格边界后，概率为 $2\cdot0.08=0.16$ 。

因此，正确答案是 C。

The diagonal from $(0.1, 0.7)$ to $(-0.1, -0.7)$ has length $\sqrt{0.2^2 + 1.4^2} = \sqrt2,$ so $S$ is a square of area $1.$ The translate $T(v)$ contains a lattice point exactly when $v$ lies inside the copy of $S$ centered at that point.

Containing exactly two interior lattice points requires $v$ to lie in the overlap of two copies centered at adjacent lattice points. By periodicity the answer is the total such overlap area within one unit cell.

Consider copies centered at $(0,0)$ and $(1,0).$ Their overlap is a rectangle. A quarter-turn of the listed half-diagonal gives the relevant vertices $(0.7,-0.1)$ and $(0.3,0.1).$ Following the two pairs of parallel sides through their intersections gives side lengths $0.4$ and $0.2,$ so the overlap area is $0.08.$ Diagonally centered copies do not overlap, and horizontal and vertical adjacencies contribute equally. Accounting for the cell boundaries gives probability $2\cdot0.08=0.16.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A 第 23 题

答案：C

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题