Question

若一个正整数不重复使用任何数字，没有数字 $0$ ，并且没有任何数字同时与两个更大的数字相邻，则称它为公平数。例如， $196$ ， $23$ ，和 $12463$ 是公平数，但 $1546$ ， $320$ ，和 $34321$ 不是。共有多少个公平正整数？

Call a positive integer fair if no digit is used more than once, it has no $0$ s, and no digit is adjacent to two greater digits. For example, $196,$ $23,$ and $12463$ are fair, but $1546,$ $320,$ and $34321$ are not fair. How many fair positive integers are there?

$511$

$2584$

$9841$

$17711$

$19682$

答案：C

知识点：有限制的排列二项式定理

难度评级：2340

小提示：

公平数没有任何内部数字小于它的两个相邻数字

A fair number has no interior digit smaller than both of its neighbors

大提示：

对选定的数字集合，从大到小构造有效排列，每个新数字放在任一端： $n$ 个数字有 $2^{n-1}$ 种

Build a valid arrangement of a chosen digit set by placing digits largest-to-smallest, each at either end: $2^{n-1}$ ways for $n$ digits

解答：

数字互不相同，并且来自 $\{1, \ldots, 9\}$ ，条件“没有数字同时与两个更大的数字相邻”等价于没有内部数字小于它的两个相邻数字。

对固定的 $n$ 个数字，从大到小插入来构造排列；每个新的较小数字必须放在当前排列的两个端点之一，因此有 $2^{n-1}$ 个有效排列。

对所有非空数字子集求和， $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n-1} \\ = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n} \\ = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19682}{2} = 9841 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The digits are distinct and drawn from $\{1, \ldots, 9\},$ and “no digit adjacent to two greater digits” means no interior digit is smaller than both neighbors.

For a fixed set of $n$ digits, build the arrangement by inserting digits from largest to smallest; each new (smaller) digit must go to one of the two ends, giving $2^{n-1}$ valid arrangements.

Summing over all nonempty digit subsets, $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n-1} \\ = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n} \\ = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19682}{2} = 9841. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 23 题

答案：C

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题