Question

设 $S$ 是边长为 $1$ 的正方形。在 $S$ 的边上独立随机选取两个点。这两点之间的直线距离至少为 $\dfrac12$ 的概率是 $\dfrac{a - b\pi}{c}$ ，其中 $a$ ， $b$ ，和 $c$ 是正整数且 $\gcd(a, b, c) = 1$ 。求 $a + b + c$ ？

Let $S$ be a square of side length $1.$ Two points are chosen independently at random on the sides of $S.$ The probability that the straight-line distance between the points is at least $\dfrac12$ is $\dfrac{a - b\pi}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $\gcd(a, b, c) = 1.$ What is $a + b + c?$

$59$

$60$

$61$

$62$

$63$

答案：A

知识点：几何概率分类讨论

难度评级：2380

小提示：

根据两个点是否在同一边、对边或相邻边上分类

Condition on whether the two points lie on the same side, opposite sides, or adjacent sides

大提示：

相邻边的情况会通过半径为 $\dfrac12$ 的四分之一圆产生 $\pi$ 项

The adjacent-sides case produces the $\pi$ term via a quarter-circle of radius $\dfrac12$

解答：

第二个点与第一个点在同一边上的概率为 $\dfrac14$ ，在对边上的概率为 $\dfrac14$ ，在相邻边上的概率为 $\dfrac12$ 。

对边： 距离总是至少为 $1 \ge \dfrac12$ ，概率为 $1$ 。

同一边： 对点 $(a, 0)$ 和 $(b, 0)$ ，条件 $|a - b| \ge \dfrac12$ 的概率为 $\dfrac14$ 。

相邻边： 对点 $(a, 0)$ 和 $(0, b)$ ，条件 $\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12$ 是半径为 $\dfrac12$ 的四分之一圆外部的区域，概率为 $1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}$ 。

总概率为 $\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}\text{。} \end{aligned}$ 因此 $a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59$ 。

因此，正确答案是 A。

The second point is on the same side as the first with probability $\dfrac14,$ on the opposite side with probability $\dfrac14,$ and on an adjacent side with probability $\dfrac12.$

Opposite sides: the distance is at least $1 \ge \dfrac12$ always, probability $1.$

Same side: for points $(a, 0)$ and $(b, 0),$ the condition $|a - b| \ge \dfrac12$ has probability $\dfrac14.$

Adjacent sides: for points $(a, 0)$ and $(0, b),$ the condition $\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12$ is the region outside a quarter-circle of radius $\dfrac12,$ with probability $1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}.$

The total probability is $\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}. \end{aligned}$ Thus $a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59.$

Thus, the correct answer is A.

2015 AMC 12A 第 23 题

答案：A

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题