Question

正方形 $ABCD$ 的面积为 $36$ ，且 $AB$ 平行于 $x$ 轴。顶点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 分别在 $y=\log_a x$ 、 $y=2\log_a x$ 和 $y=3\log_a x$ 的图像上。求 $a$ ？

Square $ABCD$ has area $36,$ and $AB$ is parallel to the $x$ -axis. Vertices $A,$ $B,$ and $C$ are on the graphs of $y=\log_a x,$ $y=2\log_a x,$ and $y=3\log_a x,$ respectively. What is $a?$

$\sqrt[6]{3}$

$\sqrt3$

$\sqrt[3]{6}$

$\sqrt6$

$6$

答案：A

知识点：对数坐标几何正方形（几何）

难度评级：1990

小提示：

因为 $AB$ 水平且长为 $6$ ，设 $\log_a p=2\log_a q$ ，得 $p=q^2$ 。

Since $AB$ is horizontal with length $6,$ set $\log_a p=2\log_a q,$ giving $p=q^2$

大提示：

解 $|q^2-q|=6$ 得到 $q$ ，再使用 $BC=6=\log_a q$ 。

Solve $|q^2-q|=6$ for $q,$ then use $BC=6=\log_a q$

解答：

设 $A=(p,\log_a p)$ 且 $B=(q,2\log_a q)$ 。因为 $AB$ 水平， $\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2$ ，所以 $p=q^2$ 。

边长为 $6=|p-q|=|q^2-q|$ ，其唯一正解是 $q=3$ 。

因为 $C=(q,3\log_a q)$ ，竖直边给出 $BC=6=\log_a q=\log_a 3$ 。因此 $a^6=3$ ，所以 $a=\sqrt[6]{3}$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $A=(p,\log_a p)$ and $B=(q,2\log_a q).$ Since $AB$ is horizontal, $\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2,$ so $p=q^2.$

The side length is $6=|p-q|=|q^2-q|,$ whose only positive solution is $q=3.$

Since $C=(q,3\log_a q),$ the vertical side gives $BC=6=\log_a q=\log_a 3.$ Thus $a^6=3,$ so $a=\sqrt[6]{3}.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12A 第 23 题

答案：A

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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