Question

一个长方体的十二条棱长之和为 $140$ ，从一个顶点到最远顶点的距离为 $21$ 。该长方体的总表面积是

The sum of the lengths of the twelve edges of a rectangular box is $140,$ and the distance from one corner of the box to the farthest corner is $21.$ The total surface area of the box is

$776$

$784$

$798$

$800$

$812$

答案：B

知识点：rectangular solids symmetric identities

难度评级：1330

小提示：

若三条边长为 $a,b,c$ ，把棱长之和与空间对角线分别写成方程

If the side lengths are $a,b,c$ , translate the edge sum and space diagonal into equations

大提示：

展开 $(a+b+c)^2$ ，直接求得 $2(ab+bc+ca)$

Expand $(a+b+c)^2$ to obtain $2(ab+bc+ca)$ directly

解答：

棱长之和给出 $4(a+b+c)=140$ ，所以 $a+b+c=35$ 。空间对角线给出 $a^2+b^2+c^2=21^2=441$ 。因此总表面积为 $\begin{gathered} 2(ab+bc+ca)\\ {}=(a+b+c)^2\\ {}-(a^2+b^2+c^2)\\ {}=35^2-441=784 \end{gathered}\text{。}$ 所以正确答案是 B。

The edge sum gives $4(a+b+c)=140,$ so $a+b+c=35.$ The space diagonal gives $a^2+b^2+c^2=21^2=441.$ Therefore the surface area is $\begin{gathered} 2(ab+bc+ca)\\ {}=(a+b+c)^2\\ {}-(a^2+b^2+c^2)\\ {}=35^2-441=784. \end{gathered}$ Thus the correct answer is B.

1996 AMC 12 第 23 题

答案：B

难度评级：1330

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题