Question

La suma de las longitudes de las doce aristas de una caja rectangular es $140,$ y la distancia de un vértice al vértice más lejano es $21.$ El área superficial total de la caja es

The sum of the lengths of the twelve edges of a rectangular box is $140,$ and the distance from one corner of the box to the farthest corner is $21.$ The total surface area of the box is

$776$

$784$

$798$

$800$

$812$

Respuesta: B

Conceptos:rectangular solids symmetric identities

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Si las longitudes de los lados son $a,b,c$ , traduce a ecuaciones la suma de las aristas y la diagonal espacial

If the side lengths are $a,b,c$ , translate the edge sum and space diagonal into equations

Pista grande:

Expande $(a+b+c)^2$ para obtener directamente $2(ab+bc+ca)$

Expand $(a+b+c)^2$ to obtain $2(ab+bc+ca)$ directly

Solución:

La suma de las aristas da $4(a+b+c)=140,$ por lo que $a+b+c=35.$ La diagonal espacial da $a^2+b^2+c^2=21^2=441.$ Por tanto, el área superficial es $\begin{gathered} 2(ab+bc+ca)\\ {}=(a+b+c)^2\\ {}-(a^2+b^2+c^2)\\ {}=35^2-441=784. \end{gathered}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The edge sum gives $4(a+b+c)=140,$ so $a+b+c=35.$ The space diagonal gives $a^2+b^2+c^2=21^2=441.$ Therefore the surface area is $\begin{gathered} 2(ab+bc+ca)\\ {}=(a+b+c)^2\\ {}-(a^2+b^2+c^2)\\ {}=35^2-441=784. \end{gathered}$ Thus the correct answer is B.

1996 AMC 12 Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años