Question

Si las soluciones de la ecuación $x^2+px+q=0$ son los cubos de las soluciones de la ecuación $x^2+mx+n=0,$ entonces

If the solutions of the equation $x^2+px+q=0$ are the cubes of the solutions of the equation $x^2+mx+n=0,$ then

$p=m^3+3mn$

$p=m^3-3mn$

$p+q=m^3$

$\left(\frac mn\right)^3=\frac pq$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta suma y diferencia de cubos cuadrática

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Llama $u$ y $v$ a las raíces de la segunda ecuación y aplica las fórmulas de Vieta

Call the roots of the second equation $u$ and $v$ and apply Vieta’s formulas

Pista grande:

Usa $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Use $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Solución:

Sean $u,$ $v$ las raíces de $x^2+mx+n.$ Entonces $u+v=-m$ y $uv=n,$ mientras que las raíces de la primera ecuación son $u^3,$ $v^3.$ Así, $\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}$ Por lo tanto, $p=m^3-3mn.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the roots of $x^2+mx+n$ be $u,$ $v.$ Then $u+v=-m$ and $uv=n,$ while the roots of the first equation are $u^3,$ $v^3.$ Thus $\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}$ Therefore $p=m^3-3mn.$

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años