Question

Para enteros $k$ y $n$ tales que $1\le k\lt n,$ sea $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$ Entonces $\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk$ es un entero

For integers $k$ and $n$ such that $1\le k\lt n,$ let $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$ Then $\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk$ is an integer

para todos $k$ y $n$

for all $k$ and $n$

para todos los valores pares de $k$ y $n,$ pero no para todos $k$ y $n$

for all even values of $k$ and $n,$ but not for all $k$ and $n$

para todos los valores impares de $k$ y $n,$ pero no para todos $k$ y $n$

for all odd values of $k$ and $n,$ but not for all $k$ and $n$

si $k=1$ o $n-1,$ pero no para todos los valores impares de $k$ y $n$

if $k=1$ or $n-1,$ but not for all odd values of $k$ and $n$

si $n$ es divisible por $k,$ pero no para todos los valores pares de $k$ y $n$

if $n$ is divisible by $k,$ but not for all even values of $k$ and $n$

Respuesta: A

Conceptos:combinaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Separa $n-2k-1$ como $(n-k)-(k+1)$

Split $n-2k-1$ into $(n-k)-(k+1)$

Pista grande:

Intenta reescribir la expresión como una diferencia de dos coeficientes binomiales adyacentes

Try rewriting the expression as a difference of two adjacent binomial coefficients

Solución:

Usando $\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,$ y escribiendo $\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,$ la expresión dada se convierte en $\binom n{k+1}-\binom nk.$ Esto es un entero para todo par permitido $k$ y $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Using $\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,$ and writing $\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,$ the given expression becomes $\binom n{k+1}-\binom nk.$ This is an integer for every permitted $k$ and $n.$

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años