Question

El triángulo equilátero $\triangle ABC$ está inscrito en un círculo. Un segundo círculo es tangente interiormente al circuncírculo en $T$ y tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q.$ Si el lado $BC$ tiene longitud $12,$ entonces el segmento $PQ$ tiene longitud

Equilateral $\triangle ABC$ is inscribed in a circle. A second circle is tangent internally to the circumcircle at $T$ and tangent to sides $AB$ and $AC$ at points $P$ and $Q.$ If side $BC$ has length $12,$ then segment $PQ$ has length

$6$

$6\sqrt3$

$8$

$8\sqrt3$

$9$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero circunferencias tangentes semejanza

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Usa la simetría para situar los centros de ambos círculos y $T$ en la altura trazada desde $A$

Use symmetry to place both circle centers and $T$ on the altitude from $A$

Pista grande:

Relaciona el radio del círculo menor con el circunradio mediante el semiángulo de $30^\circ$ en $A$

Relate the smaller circle’s radius to the circumradius using the $30^\circ$ half-angle at $A$

Solución:

El circunradio del triángulo equilátero es $R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$ Si el radio menor es $r,$ su centro se encuentra en la altura y está a $2r$ de $A,$ porque su distancia a cualquiera de los lados es $r$ y el semiángulo es $30^\circ.$ La tangencia interior en la parte inferior da $2r=2R-r,$ así que $r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.$ Los puntos de tangencia en los dos lados están separados por $PQ=r\sqrt3=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The circumradius of the equilateral triangle is $R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$ If the smaller radius is $r,$ its center lies on the altitude and is $2r$ from $A,$ because its distance to either side is $r$ and the half-angle is $30^\circ.$ Internal tangency at the bottom gives $2r=2R-r,$ so $r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.$ The tangency points on the two sides are separated by $PQ=r\sqrt3=8.$

Therefore, the correct answer is C.

1981 AMC 12 Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años