Question

Si $\dfrac{x^2-bx}{ax-c}=\dfrac{m-1}{m+1}$ tiene raíces numéricamente iguales pero de signos opuestos, el valor de $m$ debe ser:

If $\dfrac{x^2-bx}{ax-c}=\dfrac{m-1}{m+1}$ has roots which are numerically equal but of opposite signs, the value of $m$ must be:

$\dfrac{a-b}{a+b}$

$\dfrac{a+b}{a-b}$

$c$

$\dfrac1c$

$1$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta ecuación racional

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Elimina el denominador y ordena la ecuación como una cuadrática en $x$

Clear the denominator and collect the equation as a quadratic in $x$

Pista grande:

Las raíces opuestas suman cero, por lo que el coeficiente de $x$ debe anularse

Opposite roots have sum zero, so the coefficient of $x$ must vanish

Solución:

La multiplicación cruzada da $\begin{aligned} (m+1)x^2 &-(m+1)bx\\ &-(m-1)ax\\ &\quad{}+(m-1)c=0. \end{aligned}$ Las raíces de igual magnitud y signos opuestos tienen suma $0,$ por lo que el coeficiente de $x$ es $0.$ Así, $m(a+b)+(b-a)=0,$ y $m=\frac{a-b}{a+b}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Cross-multiplication gives $\begin{aligned} (m+1)x^2 &-(m+1)bx\\ &-(m-1)ax\\ &\quad{}+(m-1)c=0. \end{aligned}$ Roots that are equal in magnitude and opposite in sign have sum $0,$ so the coefficient of $x$ is $0.$ Thus $m(a+b)+(b-a)=0,$ and $m=\frac{a-b}{a+b}.$

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años